Chapitre 12. R´ egression lin´ eaire simple et multiple
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12.2.4 Analyse des r´ esidus
V´ erification des hypoth` eses du mod` ele
L’analyse des r´ esidus consiste ` a examiner si les hypoth` eses de base du mod` ele lin´ eaire sont viol´ ees. Diff´ erents graphiques trac´ es ` a l’aide des r´ esidus permettent de d´ etecter assez facilement si les hypoth` eses sur les erreurs i ne sont
pas respect´ ees :
• Trac´ e de l’histogramme des r´ esidus pour d´ etecter la non-normalit´ e. Le
graphique QQ-plot est une autre approche. On peut ´ egalement appliquer le test de non-normalit´ e de Jarque et Bera sur les r´ esidus (fonction
jarque.bera.test() disponible dans le package tseries).
• Trac´ e des r´ esidus ˆ
i en fonction des valeurs pr´ edites ˆ
y i . En effet, lorsque
les hypoth` eses associ´ ees au mod` ele sont correctes, les r´ esidus et les valeurs pr´ edites sont non corr´ el´ ees. Par cons´ equent, le trac´ e de ces points
ne devrait pas avoir de structure particuli` ere. Ce type de trac´ e donne
aussi des indications sur la validit´ e des hypoth` eses de lin´ earit´ e, ainsi que
sur l’homog´ en´ eit´ e de la variance de l’erreur. On devrait observer sur le
graphique de ˆ
i versus ˆ
y i une r´ epartition uniforme des r´ esidus suivant une
bande horizontale de part et d’autre de l’axe des abscisses.
• Pour l’hypoth` ese d’ind´ ependance des Y i , si les valeurs de Y i sont mesur´ ees
chez des individus diff´ erents sans aucune relation entre eux, l’hypoth` ese
d’ind´ ependance est en principe valide. En revanche, si les valeurs de Y i
repr´ esentent des mesures d’une certaine quantit´ e au cours du temps (par
exemple chaque mois), l’hypoth` ese d’ind´ ependance peut ne pas ˆ etre valide. On peut alors v´ erifier l’hypoth` ese d’ind´ ependance en examinant l’autocorr´ elation des r´ esidus soit graphiquement en portant sur un graphique
les r´ esidus successifs ˆ
i , soit en utilisant des tests statistiques comme, par
exemple, le test de Durbin-Watson (fonction dwtest() dans le package
lmtest).
Exemple d’analyse des r´ esidus dans l’´ etude « Poids de naissance »
Nous pr´ esentons succinctement une analyse des r´ esidus pour le mod` ele ´ etudi´ e, mˆ eme si cela n’est pas tr` es pertinent ici compte tenu du faible pouvoir
pr´ edictif de ce mod` ele (r
2
= 3.5 %).
Tout d’abord, examinons l’hypoth` ese de normalit´ e :
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12.2.4 Analyse des r´ esidus
V´ erification des hypoth` eses du mod` ele
L’analyse des r´ esidus consiste ` a examiner si les hypoth` eses de base du mod` ele lin´ eaire sont viol´ ees. Diff´ erents graphiques trac´ es ` a l’aide des r´ esidus permettent de d´ etecter assez facilement si les hypoth` eses sur les erreurs i ne sont
pas respect´ ees :
• Trac´ e de l’histogramme des r´ esidus pour d´ etecter la non-normalit´ e. Le
graphique QQ-plot est une autre approche. On peut ´ egalement appliquer le test de non-normalit´ e de Jarque et Bera sur les r´ esidus (fonction
jarque.bera.test() disponible dans le package tseries).
• Trac´ e des r´ esidus ˆ
i en fonction des valeurs pr´ edites ˆ
y i . En effet, lorsque
les hypoth` eses associ´ ees au mod` ele sont correctes, les r´ esidus et les valeurs pr´ edites sont non corr´ el´ ees. Par cons´ equent, le trac´ e de ces points
ne devrait pas avoir de structure particuli` ere. Ce type de trac´ e donne
aussi des indications sur la validit´ e des hypoth` eses de lin´ earit´ e, ainsi que
sur l’homog´ en´ eit´ e de la variance de l’erreur. On devrait observer sur le
graphique de ˆ
i versus ˆ
y i une r´ epartition uniforme des r´ esidus suivant une
bande horizontale de part et d’autre de l’axe des abscisses.
• Pour l’hypoth` ese d’ind´ ependance des Y i , si les valeurs de Y i sont mesur´ ees
chez des individus diff´ erents sans aucune relation entre eux, l’hypoth` ese
d’ind´ ependance est en principe valide. En revanche, si les valeurs de Y i
repr´ esentent des mesures d’une certaine quantit´ e au cours du temps (par
exemple chaque mois), l’hypoth` ese d’ind´ ependance peut ne pas ˆ etre valide. On peut alors v´ erifier l’hypoth` ese d’ind´ ependance en examinant l’autocorr´ elation des r´ esidus soit graphiquement en portant sur un graphique
les r´ esidus successifs ˆ
i , soit en utilisant des tests statistiques comme, par
exemple, le test de Durbin-Watson (fonction dwtest() dans le package
lmtest).
Exemple d’analyse des r´ esidus dans l’´ etude « Poids de naissance »
Nous pr´ esentons succinctement une analyse des r´ esidus pour le mod` ele ´ etudi´ e, mˆ eme si cela n’est pas tr` es pertinent ici compte tenu du faible pouvoir
pr´ edictif de ce mod` ele (r
2
= 3.5 %).
Tout d’abord, examinons l’hypoth` ese de normalit´ e :