Chapitre 9. Statistique descriptive
383
Indicateur
Formule
Instruction R
R´ esultat
Φ
2
Φ
2 =
χ 2
N
Phi2 <- khi2/N
0.067
V
2 de Cram´ er
V
2 =
Φ 2
min(p−1,q−1)
Phi2/(min(p,q)-1)
0.067
Coefficient de contingence
C =
χ 2
(N+χ 2 )
sqrt(khi2/(N+khi2))
0.251
de Pearson
=
Φ 2
(1+Φ 2 )
Astuce
La fonction cramer.v() du package rgrs permet aussi de calculer le V
de Cram´ er.
> require("rgrs")
> cramer.v(sexematgras)^2
[1] 0.06707265
9.5.2 Mesures de liaison entre des variables ordinales
(ou des rangs)
9.5.2.1 Le τ et le τ b de Kendall
Ce coefficient est fond´ e sur la notion de concordance entre individus. Pour
deux individus i et j et pour les variables ordinales X et Y ayant p et q modalit´ es respectivement, on dit que les paires (x i , y i ) et (x j , y j ) sont concordantes
si sign(x j − x i ) = sign(y j − y i ) et discordantes si sign(x j − x i ) = −sign(y j − y i ). Si
x i = x j ou y i = y j (ou les deux), la paire correspondante n’est ni concordante
ni discordante, et nous disons qu’il s’agit d’ex æquo. S’il y a n c paires concordantes, n d paires discordantes et n e ex æquo, alors n c + n d + n e =
1
2 N(N − 1). On
calcule alors le τ b de Kendall par la formule :
τ b =
2(n c − n d )
(N 2 −
p
k=1 n
2
k• )(N 2 −
q
l=1 n
2
•l )
avec 2(n c − n d ) =
p
k=1
q
l=1 sign(x k − x l )sign(y k − y l ), n k• =
q
l=1 n kl et n •l =
p
k=1 n kl ,
o` u n kl est le nombre d’individus ayant ` a la fois la modalit´ e k pour X et l pour
Y.
Lorsqu’il n’y a pas d’ex æquo, cette formule se simplifie en ce que l’on appelle
le τ de Kendall :
τ =
2(n c − n d )
N(N − 1)
.
Ces deux quantit´ es se calculent en R au moyen de la fonction cor().
> cor(as.numeric(viande),as.numeric(poisson),method="kendall")
[1] -0.1583088
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Indicateur
Formule
Instruction R
R´ esultat
Φ
2
Φ
2 =
χ 2
N
Phi2 <- khi2/N
0.067
V
2 de Cram´ er
V
2 =
Φ 2
min(p−1,q−1)
Phi2/(min(p,q)-1)
0.067
Coefficient de contingence
C =
χ 2
(N+χ 2 )
sqrt(khi2/(N+khi2))
0.251
de Pearson
=
Φ 2
(1+Φ 2 )
Astuce
La fonction cramer.v() du package rgrs permet aussi de calculer le V
de Cram´ er.
> require("rgrs")
> cramer.v(sexematgras)^2
[1] 0.06707265
9.5.2 Mesures de liaison entre des variables ordinales
(ou des rangs)
9.5.2.1 Le τ et le τ b de Kendall
Ce coefficient est fond´ e sur la notion de concordance entre individus. Pour
deux individus i et j et pour les variables ordinales X et Y ayant p et q modalit´ es respectivement, on dit que les paires (x i , y i ) et (x j , y j ) sont concordantes
si sign(x j − x i ) = sign(y j − y i ) et discordantes si sign(x j − x i ) = −sign(y j − y i ). Si
x i = x j ou y i = y j (ou les deux), la paire correspondante n’est ni concordante
ni discordante, et nous disons qu’il s’agit d’ex æquo. S’il y a n c paires concordantes, n d paires discordantes et n e ex æquo, alors n c + n d + n e =
1
2 N(N − 1). On
calcule alors le τ b de Kendall par la formule :
τ b =
2(n c − n d )
(N 2 −
p
k=1 n
2
k• )(N 2 −
q
l=1 n
2
•l )
avec 2(n c − n d ) =
p
k=1
q
l=1 sign(x k − x l )sign(y k − y l ), n k• =
q
l=1 n kl et n •l =
p
k=1 n kl ,
o` u n kl est le nombre d’individus ayant ` a la fois la modalit´ e k pour X et l pour
Y.
Lorsqu’il n’y a pas d’ex æquo, cette formule se simplifie en ce que l’on appelle
le τ de Kendall :
τ =
2(n c − n d )
N(N − 1)
.
Ces deux quantit´ es se calculent en R au moyen de la fonction cor().
> cor(as.numeric(viande),as.numeric(poisson),method="kendall")
[1] -0.1583088