Chapitre 8. Math´ ematiques de base
343
Vous noterez que la plupart de ces fonctions peuvent prendre un vecteur
comme param` etre d’appel.
Prise en main
Ï
• V´ erifiez num´ eriquement pour quelques valeurs la validit´ e de la formule
n−1
p−1
+
n−1
p
=
n
p
.
• Calculez la somme des n premiers entiers pour chacune des valeurs
n = 1, . . . , 10. V´ erifiez qu’elle est donn´ ee par la formule
n(n+1)
2 .
• Calculez la somme des n premiers carr´ es d’entiers pour chacune des valeurs n = 1, . . . , 10. V´ erifiez qu’elle est donn´ ee par la formule
n(n+1)(2n+1)
6
.
• Calculez, pour x = (x 1 , . . . , x n )
T
= (0.83,0.13,-1.16,-1.14,-0.68,0.73,1.27)
T , la valeur de
ˆ
G n =
n
K
g n ( m e , ˆ
θ)
2
o` u g n (m e , θ) = 1 − γ −
1
n
n
i=1
|y i | log |y i |
avec y i =
x i −m e
θ ,
m e = M´ ediane(x 1 , . . . , x n ), ˆ
θ =
1
n
n
i=1 |x i −
m e |, K =
π
2
3 − 3,
γ = 1 − ψ(2) la constante d’Euler et ψ(·) la fonction digamma. Vous
utiliserez la fonction median().
Note : Il suffit de v´ erifier que la valeur ˆ
G n est sup´ erieure `
a la valeur
critique qchisq(1-α,df=1), pour un seuil α donn´ e (en g´ en´ eral 5 %),
pour pouvoir d´ ecider, avec un risque d’erreur α de se tromper que
les donn´ ees n’ont pas ´ et´ e g´ en´ er´ ees suivant une loi de Laplace. Nous
reviendrons en d´ etail sur ce type de proc´ edure dans le chapitre 11.
Astuce
Le nombre π s’obtient en R au moyen de la commande pi.
SECTION 8.2
Calcul matriciel
Un certain nombre d’op´ erations classiques sur les matrices sont pr´ esentes
dans la version de base de R. Avant de les pr´ esenter, d´ efinissons un scalaire λ
et deux matrices r´ eelles A et B, et une matrice complexe C dont nous nous
servirons par la suite. Le lecteur int´ eress´ e par ce sujet pourra consulter avec
profit [36].
343
Vous noterez que la plupart de ces fonctions peuvent prendre un vecteur
comme param` etre d’appel.
Prise en main
Ï
• V´ erifiez num´ eriquement pour quelques valeurs la validit´ e de la formule
n−1
p−1
+
n−1
p
=
n
p
.
• Calculez la somme des n premiers entiers pour chacune des valeurs
n = 1, . . . , 10. V´ erifiez qu’elle est donn´ ee par la formule
n(n+1)
2 .
• Calculez la somme des n premiers carr´ es d’entiers pour chacune des valeurs n = 1, . . . , 10. V´ erifiez qu’elle est donn´ ee par la formule
n(n+1)(2n+1)
6
.
• Calculez, pour x = (x 1 , . . . , x n )
T
= (0.83,0.13,-1.16,-1.14,-0.68,0.73,1.27)
T , la valeur de
ˆ
G n =
n
K
g n ( m e , ˆ
θ)
2
o` u g n (m e , θ) = 1 − γ −
1
n
n
i=1
|y i | log |y i |
avec y i =
x i −m e
θ ,
m e = M´ ediane(x 1 , . . . , x n ), ˆ
θ =
1
n
n
i=1 |x i −
m e |, K =
π
2
3 − 3,
γ = 1 − ψ(2) la constante d’Euler et ψ(·) la fonction digamma. Vous
utiliserez la fonction median().
Note : Il suffit de v´ erifier que la valeur ˆ
G n est sup´ erieure `
a la valeur
critique qchisq(1-α,df=1), pour un seuil α donn´ e (en g´ en´ eral 5 %),
pour pouvoir d´ ecider, avec un risque d’erreur α de se tromper que
les donn´ ees n’ont pas ´ et´ e g´ en´ er´ ees suivant une loi de Laplace. Nous
reviendrons en d´ etail sur ce type de proc´ edure dans le chapitre 11.
Astuce
Le nombre π s’obtient en R au moyen de la commande pi.
SECTION 8.2
Calcul matriciel
Un certain nombre d’op´ erations classiques sur les matrices sont pr´ esentes
dans la version de base de R. Avant de les pr´ esenter, d´ efinissons un scalaire λ
et deux matrices r´ eelles A et B, et une matrice complexe C dont nous nous
servirons par la suite. Le lecteur int´ eress´ e par ce sujet pourra consulter avec
profit [36].