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Méthodes projectives
5.3.4 Méthode d’Uzawa
La méthode d’Uzawa (1958) est un cas particulier des méthodes de relaxation. Soit D une matrice carré d’ordre q, symétrique définie positive,
E une matrice s × q et e 5 R
q
, y 5 R
s
. On considère le problème
min
E{=y
1
2
(D{> {) (e> {)
On démontre que { est un minimum de cette équation si et seulement si il
existe un réel | 5 R
s
vérifiant
µ
DE
w
E 0
¶µ
{
|
¶
=
µ
e
y
¶
L’algorithme d’Uzawa de paramètre $ consiste alors à choisir une condition
initiale {
(0)
, |
(0)
et à itérer, pour une précision donnée A0,t a n tq u e
°
° E{
(n) e
°
° A, le calcul des quantités
½
D{
(n+1) = e E
w |
(n+1)
|
(n+1) = |
(n) + $(E{
(n) y)
Ces équations s’écrivent sous la forme
|
(n+1) =(1 $ED
1 E
w )|
(n) + $(ED
1 e y)
qui correspond au cas des méthodes de relaxation avec M =1 $ED
1 E
w
.
Si on note 1 > 2 > ==> s > les valeurs propres de ED
1 E
w >
(M) ? 1 /; l> |1 $ l | ? 1
Par conséquent, comme ED
1 E
w
est une matrice symétrique, définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives. Il faut donc choisir
0 ?$?
2
max l
pour que la méthode d’Uzawa converge.
5.4 Méthodes projectives
Les méthodes de projection partent du constat que pour résoudre l’équation matricielle D{ = e il su!t de déterminer le minimum de la forme
quadratique
M({)=
1
2
({> D{) (e> {)=
1
2
{
w D{ e
w {
La dérivée de cette forme quadratique
M
0 ({)=
1
2
D
w { +
1
2
D{ e