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Méthodes directes
On résout le système en remontant les équations : } = 1@8,d o n c| =1@8
et { =1 @4= Pour une matrice d’ordre q, la méthode de Gauss nécessite
q(q 1)(2q +5)@6 additions, q(q 1)(2q +5)@6 multiplications et q(q
+1)@2 divisions, soit au total (4q
3 +9q
2 7q)@6 opérations élémentaires.
En utilisant les formules de Cramer, on aurait (q +1)(q! 1) additions, (q
+1)(q 1)q! multiplications et q divisions. Pour q =1 0 , la méthode de
Gauss nécessite 805 opérations contre 399 168 000 opérations pour la résolution par les formules de Gabriel Cramer (1704-1752), { l =de tE l @ det D
où E l est la matrice formée des éléments d lm sauf sur la colonne l où on
place les éléments du vecteur e.
5.2.3 Méthode de Gauss-Jordan
Dans la méthode de Gauss-Jordan, on cherche non pas à trianguler D
comme dans la méthode de Gauss, mais à remplacer D par l’identité.
Exemple. Reprenons l’exemple proposé
3
C
284
21 06
182
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
1
1
1
4
D
À la première étape, on fait apparaître le vecteur (1> 0> ===> 0) en première
colonne. On divise la première ligne par 2 (d 11 est appelé le pivot)e to n
retranche la première ligne aux autres lignes de la matrice
3
C
142
022
040
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
1@2
0
1@2
4
D
À la deuxième étape, on fait apparaître le vecteur (0> 1> 0) dans la deuxième
colonne. Pour cela, on divise la deuxième ligne par 2. On retranche à la
première et troisième lignes 4 fois la deuxième ligne, soit
3
C
102
01 1
004
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
1@2
0
1@2
4
D
À la troisième étape, on fait apparaître le vecteur (0,0,1) dans la dernière
colonne. On divise la troisième ligne par (-4). Puis, on retranche (-2) fois
la troisième ligne à la première et une fois la troisième ligne à la deuxième.
On obtient ainsi directement la solution du système.
3
C
100
010
001
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
1@4
1@8
1@8
4
D