NOTE HISTORIQUE
(N.-B. -Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de
cette note.)
L'idée d' <( interpoler )> une suite (un) par les valeurs d'une intégrale dépendant d'un paramètre réel A et égale à un pour A = n, remonte à Wallis (III,
p. 55). C'est cette idée qui guide principalement Euler lorsque, en 1730 ((1), t.
XIV, p. 1-24), il se propose d'interpoler la suite des factorielles. Il commence par
k + l n k
remarquer que n! est égal au produit infini
- - que ce produit
k = l
' ( k ) k + n
est défini pour toute valeur de n (entière ou non), et qu'en particulier, pour
n = +, il prend la valeur _ S V '; d'après la formule de Wallis. L'analogie de ce
résultat avec ceux de Wallis le conduit alors à reprendre l'intégrale
(n entier, e quelconque), déjà considérée par ce dernier. Euler en obtient la
n !
valeur
par le développement du binôme; un change(e + l)(e + 2). . . (e + n)
ment de variables lui montre alors que n! est la limite, pour z tendant vers O, de
1 l e x 2 n
l'intégrale J O
dx, d'où la fi seconde intégrale eulérienne u
par la même méthode, et l'usage de la formule de Wallis, il obtient la formule
J : dlog l/x dx = _SA. Dans ses travaux ultérieurs, Euler revient fréquemment
à ces intégrales; il découvre ainsi la relation des compléments ((1)' t. XV, p. 82 et
t. XVII, p. 342), la formule B(p, q) = r(p) F(q)/r(p + q) ((1)' t. XVII, p. 355)'
et le cas particulier de la formule de Legendre-Gauss correspondant à x = 1 ((1)) t.
XIX, p. 483) ; le tout bien entendu sans l'inquiéter de questions de convergence.
Gauss poursuit l'étude de la fonction l? à l'occasion de ses recherches sur la
fonction hypergéométrique, dont la fonction I' est un cas limite (II); c'est au
cours de ces recherches qu'il obtient la formule générale de multiplication (déjà
remarquée par Legendre peu auparavant pour p = 2). Les travaux ultérieurs
sur I ' ont surtout porté sur le prolongement de cette fonction au domaine complexe. Ce n'est que récemment que l'on s'est aperçu que la propriété de convexité
(N.-B. -Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de
cette note.)
L'idée d' <( interpoler )> une suite (un) par les valeurs d'une intégrale dépendant d'un paramètre réel A et égale à un pour A = n, remonte à Wallis (III,
p. 55). C'est cette idée qui guide principalement Euler lorsque, en 1730 ((1), t.
XIV, p. 1-24), il se propose d'interpoler la suite des factorielles. Il commence par
k + l n k
remarquer que n! est égal au produit infini
- - que ce produit
k = l
' ( k ) k + n
est défini pour toute valeur de n (entière ou non), et qu'en particulier, pour
n = +, il prend la valeur _ S V '; d'après la formule de Wallis. L'analogie de ce
résultat avec ceux de Wallis le conduit alors à reprendre l'intégrale
(n entier, e quelconque), déjà considérée par ce dernier. Euler en obtient la
n !
valeur
par le développement du binôme; un change(e + l)(e + 2). . . (e + n)
ment de variables lui montre alors que n! est la limite, pour z tendant vers O, de
1 l e x 2 n
l'intégrale J O
dx, d'où la fi seconde intégrale eulérienne u
par la même méthode, et l'usage de la formule de Wallis, il obtient la formule
J : dlog l/x dx = _SA. Dans ses travaux ultérieurs, Euler revient fréquemment
à ces intégrales; il découvre ainsi la relation des compléments ((1)' t. XV, p. 82 et
t. XVII, p. 342), la formule B(p, q) = r(p) F(q)/r(p + q) ((1)' t. XVII, p. 355)'
et le cas particulier de la formule de Legendre-Gauss correspondant à x = 1 ((1)) t.
XIX, p. 483) ; le tout bien entendu sans l'inquiéter de questions de convergence.
Gauss poursuit l'étude de la fonction l? à l'occasion de ses recherches sur la
fonction hypergéométrique, dont la fonction I' est un cas limite (II); c'est au
cours de ces recherches qu'il obtient la formule générale de multiplication (déjà
remarquée par Legendre peu auparavant pour p = 2). Les travaux ultérieurs
sur I ' ont surtout porté sur le prolongement de cette fonction au domaine complexe. Ce n'est que récemment que l'on s'est aperçu que la propriété de convexité