CONDITIONS SUFFISANTES POUR L'EXISTENCE
DU PRODUIT DE CONVOLUTION
1. Cas oii le produit de convolution p + v de deux mesures esistc :
(a) + est défini par une application continue cp : X x Y - Z :
p,v bornées (alors y * v est bornée et IIp + v!l 6 llpll. llvll).
p,v à support compact (alors p * v est à support conipact et
S ~ P P ( P
* v) c cp(Supp P S ~ ~ P P
v)).
(b) * est défini par un groupe opérant à gauche continûment dans
un espace : p à support compact, v quelconque.
(c) + est déiini par la multiplication dans un groupe G :
I'une des deux mesures à support compact.
p, v dans AP(G) (alors y * v t= A'p(G), et Ily * vll, 6 Ilpllp!Ivllp).
II. - - Cas oii le produit de convolution p t f d'une mesure e t d'une
fonction existe :
(u) * est ddfini par un groupe Cr opérant à gauche continûment
dans un espace X muni d'une mesure p > O telle que y(s)P = ~ ( s - l , .)Pt x
citant continue :
p à support compact, f localement P-intégrable (si f est continue,
p + f est continue ; si f est continue à support compact, p * f est continue à support compact).
G opère proprement dans X, f E Z ( X ) ( p + f est continue).
(b) les ~ ( s ,
.) sont bornees ; soit p(s) - sup ~ ( s - l , x) :
a X
p E Av(G), f E Lm(X, P) (alors p * f E Lm(X, P) ; si f E Vm(X),
p * f E P ( X ) ; si f E Z ( X ) , y * f E Z(X)).
p E d p " " ~ ) , f E Lv(X, p) où l / p + llq = 1 (alors p * f E Lv(X, P)
et IlP * fllv 6 lll4l pl/~llfllv).
III. - Cas où le produit de convolution f g de deux fonctions
localement P-intkgrables existe (P mesure 3 O relativement invariante
sur un groupe G, de multiplicateurs à gauche e t à droite x et x') :
f ou g continue, f ou y à support conipact (alors f * g est continue ;
si f , g dans Z(G), f * g E X(C)).
fx-'1" E L1(G, p) et g E L*(G, P) ( l / p + l / q = 1) (alors f * g E Lp(G, P)
et ilf g1Iv < I l f ~ - ~ / ~ l l ~ l l ~ l l ~ ) -
f E L'(G, p)
e t
g~'-llU E L1(G, P)
(alors f + g E L*(G, P) e t
llf * qllv < l l f l l v l l ~ X ' - l ~ q l l ~ ~ -
fx-l E L1(G, p) e t g 6 Vm(G) (resp. X(G)) (alors f * g E em(G)
(resp. X- 1) .
W(G) (resp. X(G)) e t ~ X I - ~
E L1(G, P) (alors f * g E Vm(G)
f E--(resp. Y(G))).
V
f €LV(G, P), g €LP(G, P) avec l l p -i- l/q = 1, 1 < p < Sm, P
invariante à gauche (alors f * g E Y(G) e t llf * gll, 4 llfllVll~lla)-
DU PRODUIT DE CONVOLUTION
1. Cas oii le produit de convolution p + v de deux mesures esistc :
(a) + est défini par une application continue cp : X x Y - Z :
p,v bornées (alors y * v est bornée et IIp + v!l 6 llpll. llvll).
p,v à support compact (alors p * v est à support conipact et
S ~ P P ( P
* v) c cp(Supp P S ~ ~ P P
v)).
(b) * est défini par un groupe opérant à gauche continûment dans
un espace : p à support compact, v quelconque.
(c) + est déiini par la multiplication dans un groupe G :
I'une des deux mesures à support compact.
p, v dans AP(G) (alors y * v t= A'p(G), et Ily * vll, 6 Ilpllp!Ivllp).
II. - - Cas oii le produit de convolution p t f d'une mesure e t d'une
fonction existe :
(u) * est ddfini par un groupe Cr opérant à gauche continûment
dans un espace X muni d'une mesure p > O telle que y(s)P = ~ ( s - l , .)Pt x
citant continue :
p à support compact, f localement P-intégrable (si f est continue,
p + f est continue ; si f est continue à support compact, p * f est continue à support compact).
G opère proprement dans X, f E Z ( X ) ( p + f est continue).
(b) les ~ ( s ,
.) sont bornees ; soit p(s) - sup ~ ( s - l , x) :
a X
p E Av(G), f E Lm(X, P) (alors p * f E Lm(X, P) ; si f E Vm(X),
p * f E P ( X ) ; si f E Z ( X ) , y * f E Z(X)).
p E d p " " ~ ) , f E Lv(X, p) où l / p + llq = 1 (alors p * f E Lv(X, P)
et IlP * fllv 6 lll4l pl/~llfllv).
III. - Cas où le produit de convolution f g de deux fonctions
localement P-intkgrables existe (P mesure 3 O relativement invariante
sur un groupe G, de multiplicateurs à gauche e t à droite x et x') :
f ou g continue, f ou y à support conipact (alors f * g est continue ;
si f , g dans Z(G), f * g E X(C)).
fx-'1" E L1(G, p) et g E L*(G, P) ( l / p + l / q = 1) (alors f * g E Lp(G, P)
et ilf g1Iv < I l f ~ - ~ / ~ l l ~ l l ~ l l ~ ) -
f E L'(G, p)
e t
g~'-llU E L1(G, P)
(alors f + g E L*(G, P) e t
llf * qllv < l l f l l v l l ~ X ' - l ~ q l l ~ ~ -
fx-l E L1(G, p) e t g 6 Vm(G) (resp. X(G)) (alors f * g E em(G)
(resp. X- 1) .
W(G) (resp. X(G)) e t ~ X I - ~
E L1(G, P) (alors f * g E Vm(G)
f E--(resp. Y(G))).
V
f €LV(G, P), g €LP(G, P) avec l l p -i- l/q = 1, 1 < p < Sm, P
invariante à gauche (alors f * g E Y(G) e t llf * gll, 4 llfllVll~lla)-