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Physique statistique
Pour les systèmes macroscopiques, constitués d’un grand nombre de particules, la
situation est plus simple pour la raison suivante : la distribution de probabilité d’une
variable macroscopique, y, est extrêmement piquée et les fluctuations autour de la valeur la plus probable, ˜
y, sont extrêmement faibles. Nous vérifierons cette affirmation sur
quelques distributions dans la section suivante. Par conséquent, toute mesure de la variable macroscopique y ne peut conduire qu’à la valeur la plus probable ˜
y qui ne peut,
en fait, être distinguée de la valeur moyenne < y >. Toutefois, dans le cas d’une distribution symétrique, ces deux valeurs sont bien entendu égales. En thermodynamique,
les quantités que l’on mesure sont donc toujours les valeurs les plus probables mais les
fluctuations sont si faibles qu’on ne peut que rarement voir une déviation appréciable
de y autour de ˜
y.
Remarque. Pour un système macroscopique constitué de N particules, on peut montrer,
pour une distribution relative à la variable y, que le rapport entre l’écart type Dy et la
valeur la plus probable ˜
y est égal à :
Dy
˜
y
≈
1
√
N
(29)
Si N ≈ 10
24 particules, on trouve :
Dy
˜
y
≈ 10
−12 . C’est un nombre extrêmement faible
qu’on ne peut généralement pas détecter au niveau macroscopique. Dans la section suivante, nous allons, dans le cadre d’un modèle simple, estimer la valeur de ces fluctuations
et nous verrons qu’elles sont effectivement de cet ordre de grandeur.
3.6 QUELQUES DISTRIBUTIONS IMPORTANTES
3.6.1 La distribution binomiale
Nous allons traiter le problème d’un système dont l’évolution au cours du temps se fait
par étapes discrètes et aléatoires dans un espace à une dimension. C’est ce que l’on appelle une marche au hasard. Nous verrons, dans le chapitre 11, que ceci peut représenter
un phénomène physique connu sous le nom de mouvement brownien. À chaque étape,
le système avance d’une longueur l donnée dans l’une ou l’autre direction de l’espace
avec une probabilité p ou q (p + q = 1). On peut concrétiser ce problème en imaginant un
homme ivre qui se déplace dans une rue, orientée de gauche à droite, en faisant des pas
de longueur constante l. Chaque pas est supposé indépendant du précédent (c’est ce que
l’on appelle un processus markovien). La probabilité d’aller à gauche est p, celle d’aller
à droite q = 1 − p. Si la rue est horizontale p = q =
1
2 , mais si elle est en pente, p et q
peuvent être différents. Si l’ivrogne a fait N pas, nous voudrions savoir à quelle distance
il se trouve de l’origine. On ne peut répondre de manière certaine à cette question et l’on
est amené à introduire une distribution de probabilité : la distribution binomiale. Celleci est très importante en physique statistique car elle s’applique à des problèmes très
divers qui sont plus proches de la physique que de celui d’un ivrogne déambulant dans
une rue. Par exemple, on peut utiliser la distribution binomiale pour étudier un ensemble
Physique statistique
Pour les systèmes macroscopiques, constitués d’un grand nombre de particules, la
situation est plus simple pour la raison suivante : la distribution de probabilité d’une
variable macroscopique, y, est extrêmement piquée et les fluctuations autour de la valeur la plus probable, ˜
y, sont extrêmement faibles. Nous vérifierons cette affirmation sur
quelques distributions dans la section suivante. Par conséquent, toute mesure de la variable macroscopique y ne peut conduire qu’à la valeur la plus probable ˜
y qui ne peut,
en fait, être distinguée de la valeur moyenne < y >. Toutefois, dans le cas d’une distribution symétrique, ces deux valeurs sont bien entendu égales. En thermodynamique,
les quantités que l’on mesure sont donc toujours les valeurs les plus probables mais les
fluctuations sont si faibles qu’on ne peut que rarement voir une déviation appréciable
de y autour de ˜
y.
Remarque. Pour un système macroscopique constitué de N particules, on peut montrer,
pour une distribution relative à la variable y, que le rapport entre l’écart type Dy et la
valeur la plus probable ˜
y est égal à :
Dy
˜
y
≈
1
√
N
(29)
Si N ≈ 10
24 particules, on trouve :
Dy
˜
y
≈ 10
−12 . C’est un nombre extrêmement faible
qu’on ne peut généralement pas détecter au niveau macroscopique. Dans la section suivante, nous allons, dans le cadre d’un modèle simple, estimer la valeur de ces fluctuations
et nous verrons qu’elles sont effectivement de cet ordre de grandeur.
3.6 QUELQUES DISTRIBUTIONS IMPORTANTES
3.6.1 La distribution binomiale
Nous allons traiter le problème d’un système dont l’évolution au cours du temps se fait
par étapes discrètes et aléatoires dans un espace à une dimension. C’est ce que l’on appelle une marche au hasard. Nous verrons, dans le chapitre 11, que ceci peut représenter
un phénomène physique connu sous le nom de mouvement brownien. À chaque étape,
le système avance d’une longueur l donnée dans l’une ou l’autre direction de l’espace
avec une probabilité p ou q (p + q = 1). On peut concrétiser ce problème en imaginant un
homme ivre qui se déplace dans une rue, orientée de gauche à droite, en faisant des pas
de longueur constante l. Chaque pas est supposé indépendant du précédent (c’est ce que
l’on appelle un processus markovien). La probabilité d’aller à gauche est p, celle d’aller
à droite q = 1 − p. Si la rue est horizontale p = q =
1
2 , mais si elle est en pente, p et q
peuvent être différents. Si l’ivrogne a fait N pas, nous voudrions savoir à quelle distance
il se trouve de l’origine. On ne peut répondre de manière certaine à cette question et l’on
est amené à introduire une distribution de probabilité : la distribution binomiale. Celleci est très importante en physique statistique car elle s’applique à des problèmes très
divers qui sont plus proches de la physique que de celui d’un ivrogne déambulant dans
une rue. Par exemple, on peut utiliser la distribution binomiale pour étudier un ensemble