Corrigé des exercices
313
Chapitre 3
Exercice 1. I. 1- P 1 = 1/16, P 2 = 3/16, P 3 = 1/4, P 4 = 1/2.
2- S = −k
4
i=1 P i Log P i = 1, 18k.
3- S=1,386 k, l’information est plus faible.
II. 1- P 1 = 1/16, P 1 = 3/16, P 1 = 5/16, P 1 = 7/16. S = 1,21 k.
Exercice 2. 1- Si A 1 et A 2 sont statistiquement indépendants, on a :
P rs = P
(1)
r P
(2)
s .S = −k
r,s
P
(1)
r P
(2)
s Log P
(1)
r P
(2)
s
= −k
r
P
(1)
r Log P
(1)
r
s
P
(2)
s
− k
s
P
(2)
s Log P
(2)
s
r
P
(1)
r
= S 1 + S 2
2- a) S − (S 1 + S 2 ) = −k
r,s
P rs Log P rs + k
r
P
(1)
r Log P
(1)
r + k
s
P
(2)
s Log P
(2)
s
= −k
r,s
P rs Log P rs + k
r
s
P rs
Log P
(1)
r + k
s
r
P rs
Log P
(2)
s .
Ce qui est l’équation demandée.
b) La droite x − 1 est la tangente en x = 1 de Log x. Cette dernière fonction lui est toujours
inférieure. L’inégalité Log x x − 1 entraîne :
S − (S 1 + S 2 ) k
r,s
P rs
P
(1)
r P
(2)
s
P rs
− 1
= k
r,s
P
(1)
r P
(2)
s − k
r,s
P rs .
D’où S − (S 1 + S 2 ) k
r P
(1)
r
s P
(2)
s
− k = 0. Lorsqu’un système est composé de 2 soussystèmes statistiquement corrélés, son entropie est toujours plus faible que si les 2 sous-systèmes
sont indépendants.
Exercice 3. 1- Dans le cas de 4 fermions d’énergie 6 v 0 , on a 6 configurations possibles :
a) 2 particules en 0, 1 en E 0 et une en 5E 0 .
b) 2 particules en 0, 1 en 2E 0 et une en 4E 0 .
c) 2 particules en 0, 2 particules en 3E 0 .
d) 1 particule en 0, 2 particules en E 0 et une en 4E 0 .
e) 1 particule sur chacun des 4 niveaux les plus bas.
f) 2 particules en E 0 et 2 particules en 2E 0 .
Aucun de ces niveaux n’est dégénéré. De plus, les fermions sont des particules indiscernables qui
ne peuvent pas se trouver à deux dans le même état quantique. Lorsque l’on a deux particules sur
un même niveau, leurs spins sont donc forcément appariés. On trouve : 2×2
2 +1+2
2 +2
4 +1 = 30
micro-états. La probabilité pour que le système soit dans un de ces micro-états est
1
30 .
2- Toutes les projections du spin S z sont possibles, de −2 à +2.
−2 peut être obtenu seulement pour e), soit une fois.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3
Exercice 1. I. 1- P 1 = 1/16, P 2 = 3/16, P 3 = 1/4, P 4 = 1/2.
2- S = −k
4
i=1 P i Log P i = 1, 18k.
3- S=1,386 k, l’information est plus faible.
II. 1- P 1 = 1/16, P 1 = 3/16, P 1 = 5/16, P 1 = 7/16. S = 1,21 k.
Exercice 2. 1- Si A 1 et A 2 sont statistiquement indépendants, on a :
P rs = P
(1)
r P
(2)
s .S = −k
r,s
P
(1)
r P
(2)
s Log P
(1)
r P
(2)
s
= −k
r
P
(1)
r Log P
(1)
r
s
P
(2)
s
− k
s
P
(2)
s Log P
(2)
s
r
P
(1)
r
= S 1 + S 2
2- a) S − (S 1 + S 2 ) = −k
r,s
P rs Log P rs + k
r
P
(1)
r Log P
(1)
r + k
s
P
(2)
s Log P
(2)
s
= −k
r,s
P rs Log P rs + k
r
s
P rs
Log P
(1)
r + k
s
r
P rs
Log P
(2)
s .
Ce qui est l’équation demandée.
b) La droite x − 1 est la tangente en x = 1 de Log x. Cette dernière fonction lui est toujours
inférieure. L’inégalité Log x x − 1 entraîne :
S − (S 1 + S 2 ) k
r,s
P rs
P
(1)
r P
(2)
s
P rs
− 1
= k
r,s
P
(1)
r P
(2)
s − k
r,s
P rs .
D’où S − (S 1 + S 2 ) k
r P
(1)
r
s P
(2)
s
− k = 0. Lorsqu’un système est composé de 2 soussystèmes statistiquement corrélés, son entropie est toujours plus faible que si les 2 sous-systèmes
sont indépendants.
Exercice 3. 1- Dans le cas de 4 fermions d’énergie 6 v 0 , on a 6 configurations possibles :
a) 2 particules en 0, 1 en E 0 et une en 5E 0 .
b) 2 particules en 0, 1 en 2E 0 et une en 4E 0 .
c) 2 particules en 0, 2 particules en 3E 0 .
d) 1 particule en 0, 2 particules en E 0 et une en 4E 0 .
e) 1 particule sur chacun des 4 niveaux les plus bas.
f) 2 particules en E 0 et 2 particules en 2E 0 .
Aucun de ces niveaux n’est dégénéré. De plus, les fermions sont des particules indiscernables qui
ne peuvent pas se trouver à deux dans le même état quantique. Lorsque l’on a deux particules sur
un même niveau, leurs spins sont donc forcément appariés. On trouve : 2×2
2 +1+2
2 +2
4 +1 = 30
micro-états. La probabilité pour que le système soit dans un de ces micro-états est
1
30 .
2- Toutes les projections du spin S z sont possibles, de −2 à +2.
−2 peut être obtenu seulement pour e), soit une fois.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.