Corrigé des exercices
311
Exercice 9. Ce problème est équivalent à placer N objets identiques dans g boîtes distinctes.
Pour ce faire on place N particules dans une grande boîte puis on introduit g − 1 cloisons. Cellesci vont ainsi créer les g boîtes. Il y a (N + g − 1)! permutations possibles de l’ensemble formé par
les N particules et les g − 1 cloisons. Mais la permutation de deux cloisons ne change rien (il y en
a (g − 1)!). La permutation de 2 particules ne change rien non plus car elles sont indiscernables
(il y en a N!). Ainsi, le nombre de façons différentes de placer N particules indiscernables dans
g boîtes distinctes est égal à
(N+g−1)!
N!(g−1)! .
Exercice 10. Pour chaque objet il y a g possibilités. La réponse est g
N .
Exercice 11. 1- Les niveaux à une particule sont donnés par ´ =
p
2
2
2mL 2 n
2 .
F(E) = n =
L
p
√
2mE et V(E) =
dF(E)
dE dE =
L
2p
2m
E dE.
2- F(E) = volume
h
=
L
p
√
2mE (même résultat qu’en mécanique quantique).
Exercice 12. Un espace de phase à 6 dimensions peut être associé à une particule qui se
déplace dans l’espace à 3 dimensions. Pour cette particule on a les conditions (17). Le nombre
de micro-états F(E) est donné par : F(E) =
1
h 3
V
dxdydz
E
dp x dp y dp z . Le contour
d’intégration des quantités de mouvement est indépendant des coordonnées d’espace. C’est une
sphère de rayon
√
2mE. D’où F(E) =
V
h 3
4
3 p(2mE)
3/2 . Le nombre de micro-états accessibles au
système vaut : V(E) =
dF
dE dE = 4pm
V
h 3
√
2mE dE. Pour une particule de spin 1/2, il faut multiplier
ce résultat par deux.
Exercice 13. 1- Chaque variable oscille avec une pulsation v =
K
m . On peut poser
q = A cos(vt + w) et p = mdq/dt = −mAv sin(vt + w). Cette paramétrisation montre que
l’ensemble des micro-états du système est une ellipse dont les axes sont reliés à l’énergie E par :
1
2 KA
2 cos
2 (vt + w) +
mv
2 A
2
2
sin
2 (vt + w) = E. En tenant compte de l’expression de v, on obtient
A =
2E/mv 2 .
2- Dans cet espace à deux dimensions, le nombre de micro-états classiques dont l’énergie est E est relié à la surface de l’ellipse ci-dessous par : F(E) =
pA(mAv)
h
=
2p
hv E.
D’où V(E) =
dF
dE =
2p
hv dE. Quelle que soit son énergie, le nombre de micro-états d’un oscillateur est donc constant. Note : La surface d’une ellipse d’équation
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 vaut :
S =
+a
−a
dx
+b
√
1−x 2 /a 2
−b
√
1−x 2 /a 2
dy qui peut être calculée en posant sin w = x/a. On trouve S = pab.
Exercice 14. 1- E tot =
p
2
1
2m +
p
2
2
2m +
p
2
3
2m d’où p
2
1 + p
2
2 + p
2
3 = 2mE tot .
2- a) À chaque particule est associé un espace de phase à 2 dimensions, position et quantité de
mouvement. L’espace de phase total a donc 6 dimensions.
b) F(E tot ) =
1
h 3
dx 1 dx 2 dx 3
dp 1 dp 2 dp 3 . D’après la première question, le contour du
volume d’intégration des quantités de mouvement (une sphère de rayon
√
2mE), ne dépend pas
des coordonnées spatiales. On peut donc effectuer les intégrales indépendamment. On obtient :
F(E tot ) =
L
3
h 3
4
3
p(2mE tot )
3/2
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Exercice 9. Ce problème est équivalent à placer N objets identiques dans g boîtes distinctes.
Pour ce faire on place N particules dans une grande boîte puis on introduit g − 1 cloisons. Cellesci vont ainsi créer les g boîtes. Il y a (N + g − 1)! permutations possibles de l’ensemble formé par
les N particules et les g − 1 cloisons. Mais la permutation de deux cloisons ne change rien (il y en
a (g − 1)!). La permutation de 2 particules ne change rien non plus car elles sont indiscernables
(il y en a N!). Ainsi, le nombre de façons différentes de placer N particules indiscernables dans
g boîtes distinctes est égal à
(N+g−1)!
N!(g−1)! .
Exercice 10. Pour chaque objet il y a g possibilités. La réponse est g
N .
Exercice 11. 1- Les niveaux à une particule sont donnés par ´ =
p
2
2
2mL 2 n
2 .
F(E) = n =
L
p
√
2mE et V(E) =
dF(E)
dE dE =
L
2p
2m
E dE.
2- F(E) = volume
h
=
L
p
√
2mE (même résultat qu’en mécanique quantique).
Exercice 12. Un espace de phase à 6 dimensions peut être associé à une particule qui se
déplace dans l’espace à 3 dimensions. Pour cette particule on a les conditions (17). Le nombre
de micro-états F(E) est donné par : F(E) =
1
h 3
V
dxdydz
E
dp x dp y dp z . Le contour
d’intégration des quantités de mouvement est indépendant des coordonnées d’espace. C’est une
sphère de rayon
√
2mE. D’où F(E) =
V
h 3
4
3 p(2mE)
3/2 . Le nombre de micro-états accessibles au
système vaut : V(E) =
dF
dE dE = 4pm
V
h 3
√
2mE dE. Pour une particule de spin 1/2, il faut multiplier
ce résultat par deux.
Exercice 13. 1- Chaque variable oscille avec une pulsation v =
K
m . On peut poser
q = A cos(vt + w) et p = mdq/dt = −mAv sin(vt + w). Cette paramétrisation montre que
l’ensemble des micro-états du système est une ellipse dont les axes sont reliés à l’énergie E par :
1
2 KA
2 cos
2 (vt + w) +
mv
2 A
2
2
sin
2 (vt + w) = E. En tenant compte de l’expression de v, on obtient
A =
2E/mv 2 .
2- Dans cet espace à deux dimensions, le nombre de micro-états classiques dont l’énergie est E est relié à la surface de l’ellipse ci-dessous par : F(E) =
pA(mAv)
h
=
2p
hv E.
D’où V(E) =
dF
dE =
2p
hv dE. Quelle que soit son énergie, le nombre de micro-états d’un oscillateur est donc constant. Note : La surface d’une ellipse d’équation
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 vaut :
S =
+a
−a
dx
+b
√
1−x 2 /a 2
−b
√
1−x 2 /a 2
dy qui peut être calculée en posant sin w = x/a. On trouve S = pab.
Exercice 14. 1- E tot =
p
2
1
2m +
p
2
2
2m +
p
2
3
2m d’où p
2
1 + p
2
2 + p
2
3 = 2mE tot .
2- a) À chaque particule est associé un espace de phase à 2 dimensions, position et quantité de
mouvement. L’espace de phase total a donc 6 dimensions.
b) F(E tot ) =
1
h 3
dx 1 dx 2 dx 3
dp 1 dp 2 dp 3 . D’après la première question, le contour du
volume d’intégration des quantités de mouvement (une sphère de rayon
√
2mE), ne dépend pas
des coordonnées spatiales. On peut donc effectuer les intégrales indépendamment. On obtient :
F(E tot ) =
L
3
h 3
4
3
p(2mE tot )
3/2
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.