11 • Transitions de phase (II)
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devient en fait infini et l’on dit que l’on a un amas de percolation. La valeur p c sépare
donc le domaine de variation de p en deux parties : pour p < p c , on a un système isolant
et pour p > p c , il devient conducteur. Au seuil de percolation, on est passé d’un ordre à
courte distance à un ordre à grande distance : la longueur de corrélation est passée d’une
valeur finie à une valeur « infinie », i.e. s’étendant sur tout le système dans notre exemple
concret.
L’étude de quantités physiques au voisinage de p c est d’un grand intérêt car elles
varient comme (p − p c ) a , i.e. qu’elles suivent des lois de puissances. La quantité a
est un exposant critique qui dépend de la quantité physique concernée. L’ensemble de
ces exposants critiques caractérisent la transition de percolation au même titre que les
exposants critiques introduits dans la section 10.9.
Dans une approche de percolation, on se donne un ensemble d’objets et une relation à
courte distance entre ces objets. On peut distinguer deux types de percolation sur réseau :
celle de sites et celle de liens. Pour en comprendre le mécanisme, considérons un réseau,
cubique par exemple, possédant N sites. On suppose N très grand et on s’intéressera à la
limite N → ∞.
Dans la percolation de sites, on met N 1 particules au nœuds du réseau avec, bien sûr,
au plus une particule sur chaque site. La probabilité d’occuper un site est donc p = N 1 /N.
Un agrégat est défini comme un ensemble de particules qui ont au moins un voisin. Soit
A Max la taille du plus gros amas. En faisant varier p de 0 à 1, on observe une transition
de percolation pour p = p c . Dans le cas d’un système infini (N → ∞), on observe que
pour p < p c , A Max est fini alors qu’il devient infini au dessus de p c qui correspond au
point de la transition de percolation. Pour un système fini, la transition observée est plus
douce. Elle l’est d’autant plus que le système contient moins de particules.
Dans la percolation de liens, on suppose qu’il y a une particule sur chaque site. Chacune d’entre elles (sauf celles qui sont en surface) a 4 voisins et donc 4 liaisons possibles.
Soit q la probabilité pour qu’une liaison existe. Avec cette hypothèse, certaines liaisons
existeront, d’autres pas. Au total la proportion de liaisons existantes sera égale à q. Un
amas est défini comme un ensemble de particules tel que chacune d’entre elles est liée
à au moins une autre particule de cet ensemble. On peut, pour l’ensemble du réseau,
définir le plus gros amas dont la taille est A Max . Comme pour la percolation de sites, on
constate qu’il y a une transition de percolation au voisinage de q = q c .
Le seuil de percolation dépend de la dimensionalité du réseau (1, 2, 3,. . . ) et du type
de percolation (sites ou de liens). Ceci est illustré dans le tableau ci-dessous qui donne
quelques valeurs des paramètres p c et q c pour des réseaux « cubiques » de dimensionalité
d différentes (pour d = 2, c’est un carré, d = 3, un cube, etc.).
Dimension d Sites (p c ) Liens (q c )
2
0,593
0,500
3
0,311
0,249
4
0,197
0,160
5
0,141
0,118
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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devient en fait infini et l’on dit que l’on a un amas de percolation. La valeur p c sépare
donc le domaine de variation de p en deux parties : pour p < p c , on a un système isolant
et pour p > p c , il devient conducteur. Au seuil de percolation, on est passé d’un ordre à
courte distance à un ordre à grande distance : la longueur de corrélation est passée d’une
valeur finie à une valeur « infinie », i.e. s’étendant sur tout le système dans notre exemple
concret.
L’étude de quantités physiques au voisinage de p c est d’un grand intérêt car elles
varient comme (p − p c ) a , i.e. qu’elles suivent des lois de puissances. La quantité a
est un exposant critique qui dépend de la quantité physique concernée. L’ensemble de
ces exposants critiques caractérisent la transition de percolation au même titre que les
exposants critiques introduits dans la section 10.9.
Dans une approche de percolation, on se donne un ensemble d’objets et une relation à
courte distance entre ces objets. On peut distinguer deux types de percolation sur réseau :
celle de sites et celle de liens. Pour en comprendre le mécanisme, considérons un réseau,
cubique par exemple, possédant N sites. On suppose N très grand et on s’intéressera à la
limite N → ∞.
Dans la percolation de sites, on met N 1 particules au nœuds du réseau avec, bien sûr,
au plus une particule sur chaque site. La probabilité d’occuper un site est donc p = N 1 /N.
Un agrégat est défini comme un ensemble de particules qui ont au moins un voisin. Soit
A Max la taille du plus gros amas. En faisant varier p de 0 à 1, on observe une transition
de percolation pour p = p c . Dans le cas d’un système infini (N → ∞), on observe que
pour p < p c , A Max est fini alors qu’il devient infini au dessus de p c qui correspond au
point de la transition de percolation. Pour un système fini, la transition observée est plus
douce. Elle l’est d’autant plus que le système contient moins de particules.
Dans la percolation de liens, on suppose qu’il y a une particule sur chaque site. Chacune d’entre elles (sauf celles qui sont en surface) a 4 voisins et donc 4 liaisons possibles.
Soit q la probabilité pour qu’une liaison existe. Avec cette hypothèse, certaines liaisons
existeront, d’autres pas. Au total la proportion de liaisons existantes sera égale à q. Un
amas est défini comme un ensemble de particules tel que chacune d’entre elles est liée
à au moins une autre particule de cet ensemble. On peut, pour l’ensemble du réseau,
définir le plus gros amas dont la taille est A Max . Comme pour la percolation de sites, on
constate qu’il y a une transition de percolation au voisinage de q = q c .
Le seuil de percolation dépend de la dimensionalité du réseau (1, 2, 3,. . . ) et du type
de percolation (sites ou de liens). Ceci est illustré dans le tableau ci-dessous qui donne
quelques valeurs des paramètres p c et q c pour des réseaux « cubiques » de dimensionalité
d différentes (pour d = 2, c’est un carré, d = 3, un cube, etc.).
Dimension d Sites (p c ) Liens (q c )
2
0,593
0,500
3
0,311
0,249
4
0,197
0,160
5
0,141
0,118
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.