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Physique statistique
par la valeur moyenne. Pour chaque élève, ceci ne sera une bonne approximation que si les
fluctuations autour de sont faibles, i.e. si la distribution D(n) est étroite. Dans cet exemple,
on remplace donc la connaissance de D(n) par celle de.
11.1.1 L’équation de van der Waals
Nous avons longuement étudié le gaz parfait dans les chapitres précédents. C’est un
ensemble de molécules ou d’atomes (que nous qualifierons de particules) dont on néglige
les interactions. Ce modèle est souvent une bonne description des gaz réels. Nous allons
maintenant aller au delà de cette hypothèse très extrême et nous placer dans le cadre
d’une approximation de champ moyen. Cela va nous donner une meilleure description
des gaz réels et nous permettre d’obtenir une équation d’état des gaz parfaits connue
sous le nom d’équation de van der Waals.
Dans un gaz réel, l’interaction entre les particules, V, est une fonction compliquée des
positions r i :
V = V(r 1 , r 2 , . . . r i , . . . , r n )
( 1 )
Ce terme d’énergie potentielle contient les effets d’un éventuel champ extérieur, les interactions entre deux particules, trois particules, etc.. La fonction de partition du système
est une intégrale dans un espace à 6N dimensions :
Z =
1
N!
1
h 3N
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N exp
−b
i
p 2
i
2m
+ V(r 1 , r 2 , . . . r i , . . . , r n )
(2)
Pour un gaz parfait, V = 0. Ce cas a été discuté en détails dans les chapitres 6 et 7.
L’approche de champ moyen consiste à supposer que l’interaction des particules sur
l’une d’entre elle peut être réduite à un unique potentiel à un corps U(r). Ceci se traduit,
mathématiquement, par le fait que :
V(r 1 , r 2 , . . . r i , . . . , r n ) ≈
i
U (r i )
( 3 )
La fonction de partition devient alors :
Z =
1
N!
1
h 3N
dr 1 dp 1 dr 2 dp 2 . . . dr N dp N exp
−b
i
p 2
i
2m
+
i
U (r i )
(4)
Il est alors facile de factoriser l’intégrale multiple en un produit d’intégrales simples
pour obtenir :
Z =
1
N!
1
h 3N
dr dp exp
−b
p 2
2m
+ U (r)
N
=
1
N!
1
h 3N
⎛
⎜
⎝
dp e
−b
p 2
2m
⎞
⎟
⎠
N
dr e −bU (r)
N
(5)
Physique statistique
par la valeur moyenne
fluctuations autour de
on remplace donc la connaissance de D(n) par celle de
11.1.1 L’équation de van der Waals
Nous avons longuement étudié le gaz parfait dans les chapitres précédents. C’est un
ensemble de molécules ou d’atomes (que nous qualifierons de particules) dont on néglige
les interactions. Ce modèle est souvent une bonne description des gaz réels. Nous allons
maintenant aller au delà de cette hypothèse très extrême et nous placer dans le cadre
d’une approximation de champ moyen. Cela va nous donner une meilleure description
des gaz réels et nous permettre d’obtenir une équation d’état des gaz parfaits connue
sous le nom d’équation de van der Waals.
Dans un gaz réel, l’interaction entre les particules, V, est une fonction compliquée des
positions r i :
V = V(r 1 , r 2 , . . . r i , . . . , r n )
( 1 )
Ce terme d’énergie potentielle contient les effets d’un éventuel champ extérieur, les interactions entre deux particules, trois particules, etc.. La fonction de partition du système
est une intégrale dans un espace à 6N dimensions :
Z =
1
N!
1
h 3N
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N exp
−b
i
p 2
i
2m
+ V(r 1 , r 2 , . . . r i , . . . , r n )
(2)
Pour un gaz parfait, V = 0. Ce cas a été discuté en détails dans les chapitres 6 et 7.
L’approche de champ moyen consiste à supposer que l’interaction des particules sur
l’une d’entre elle peut être réduite à un unique potentiel à un corps U(r). Ceci se traduit,
mathématiquement, par le fait que :
V(r 1 , r 2 , . . . r i , . . . , r n ) ≈
i
U (r i )
( 3 )
La fonction de partition devient alors :
Z =
1
N!
1
h 3N
dr 1 dp 1 dr 2 dp 2 . . . dr N dp N exp
−b
i
p 2
i
2m
+
i
U (r i )
(4)
Il est alors facile de factoriser l’intégrale multiple en un produit d’intégrales simples
pour obtenir :
Z =
1
N!
1
h 3N
dr dp exp
−b
p 2
2m
+ U (r)
N
=
1
N!
1
h 3N
⎛
⎜
⎝
dp e
−b
p 2
2m
⎞
⎟
⎠
N
dr e −bU (r)
N
(5)