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Physique statistique
9.2 GAZ PARFAIT DE BOSE
Nous allons à présent considérer N particules de spin nul ou entier (bosons), de masse m
(sauf pour les photons) et sans interaction, enfermés dans un volume V. Nous supposons
que ce système est en équilibre avec un thermostat à la température T. Nous allons
étudier quelques propriétés de ce gaz parfait de bosons en passant brièvement sur les
démonstrations qui sont similaires à celles que nous avons présentées précédemment
pour le gaz de Fermi.
9.2.1 Première approche
Nous allons procéder ici de façon analogue à celle que nous avons décrite dans la section 9.1.1 pour les fermions. Comme nous l’expliciterons plus loin, cette approche n’est
valable que si le niveau d’énergie à une particule le plus bas n’est pas très occupé, i.e. si
la température n’est pas trop petite. Par commodité, nous choisirons le niveau le plus bas
comme origine de l’échelle des énergies. En effet, pour un système macroscopique, ce
niveau correspond à une valeur extrêmement faible de l’énergie (cf. section 2.1.3). Il faut
néanmoins garder à l’esprit que l’impulsion d’une particule enfermée dans un volume
fini ne peut pas être nulle à cause du principe d’incertitude de Heisenberg. Ceci étant
posé, le raisonnement tenu dans la section 9.1.1 est valable pour les bosons à condition
de remplacer la formule (3) par la distribution de Bose-Einstein :
1
exp(
´ − m
kT
)-1
(75)
Comme le nombre d’occupation, donné par l’expression ci-dessus, ne peut pas être négatif, on en déduit que le potentiel chimique m doit toujours être inférieur à l’énergie
du niveau le plus bas, ´ 0 , que nous avons choisi nul par convention. Par conséquent,
m 0. L’évolution du potentiel chimique en fonction de la température du thermostat
est montrée schématiquement dans la figure 1 dont nous préciserons certains détails par
la suite.
Comme la démarche est analogue à celle de la section 9.1.1, où il suffit de remplacer
l’expression (3) par (75) (i.e. de changer un signe + en signe −), nous ne présenterons
ici que les principaux résultats : le potentiel chimique est défini par l’équation :
N = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2 J 1/2 (h)
(76)
analogue à (15), où h =
m
kT
et où J n (h) est une intégrale définie par :
J n (h) =
∞
0
x n dx
exp(x − n) − 1
(77)
Physique statistique
9.2 GAZ PARFAIT DE BOSE
Nous allons à présent considérer N particules de spin nul ou entier (bosons), de masse m
(sauf pour les photons) et sans interaction, enfermés dans un volume V. Nous supposons
que ce système est en équilibre avec un thermostat à la température T. Nous allons
étudier quelques propriétés de ce gaz parfait de bosons en passant brièvement sur les
démonstrations qui sont similaires à celles que nous avons présentées précédemment
pour le gaz de Fermi.
9.2.1 Première approche
Nous allons procéder ici de façon analogue à celle que nous avons décrite dans la section 9.1.1 pour les fermions. Comme nous l’expliciterons plus loin, cette approche n’est
valable que si le niveau d’énergie à une particule le plus bas n’est pas très occupé, i.e. si
la température n’est pas trop petite. Par commodité, nous choisirons le niveau le plus bas
comme origine de l’échelle des énergies. En effet, pour un système macroscopique, ce
niveau correspond à une valeur extrêmement faible de l’énergie (cf. section 2.1.3). Il faut
néanmoins garder à l’esprit que l’impulsion d’une particule enfermée dans un volume
fini ne peut pas être nulle à cause du principe d’incertitude de Heisenberg. Ceci étant
posé, le raisonnement tenu dans la section 9.1.1 est valable pour les bosons à condition
de remplacer la formule (3) par la distribution de Bose-Einstein :
1
exp(
´ − m
kT
)-1
(75)
Comme le nombre d’occupation, donné par l’expression ci-dessus, ne peut pas être négatif, on en déduit que le potentiel chimique m doit toujours être inférieur à l’énergie
du niveau le plus bas, ´ 0 , que nous avons choisi nul par convention. Par conséquent,
m 0. L’évolution du potentiel chimique en fonction de la température du thermostat
est montrée schématiquement dans la figure 1 dont nous préciserons certains détails par
la suite.
Comme la démarche est analogue à celle de la section 9.1.1, où il suffit de remplacer
l’expression (3) par (75) (i.e. de changer un signe + en signe −), nous ne présenterons
ici que les principaux résultats : le potentiel chimique est défini par l’équation :
N = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2 J 1/2 (h)
(76)
analogue à (15), où h =
m
kT
et où J n (h) est une intégrale définie par :
J n (h) =
∞
0
x n dx
exp(x − n) − 1
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