9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
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Exemple. Si on a {n i } = {0, 1, 1, 0, 0, ...}, cela signifie que l’on a une particule sur le niveau
´ 1 et l’autre sur le niveau ´ 2 . On a un seul micro-état à 2 particules défini par la donnée de
{n i }. Rappelons (cf. Chapitre 2) que si les particules étaient discernables on aurait au contraire 2
micro-états différents. En effet, si une particule est représentée par le symbole A et l’autre par le
symbole B, il existe deux configurations distinctes : ´ 1 (A), ´ 2 (B) ou ´ 1 (B), ´ 2 (A).
Remarque. Insistons encore sur le fait que, lorsqu’il y a dégénérescence des niveaux à
une particule, plusieurs niveaux à une particule peuvent correspondre à une même valeur
de l’énergie. Reprenons l’exemple de la boîte cubique et, parmi ses niveaux à une particule, considérons le deuxième d’entre eux. Dans la section 2.2.2, nous avons trouvé, pour
des fermions de spin
1
2 , que cet état était six fois dégénéré. On peut en effet avoir n x = 1,
n y = 0, n z = 0, s z = ±
1
2 ; n x = 0, n y = 1, n z = 0, s z = ±
1
2 ou n x = 0, n y = 0, n z = 1,
s z = ±
1
2 . Cela signifie que l’ensemble {j} introduit dans l’expression (40) contient plus
d’un élément. Dans cet exemple particulier où les fermions ont un spin
1
2 , une numérotation naturelle des micro-états serait la suivante :
´ 0 = ´ 111 (s z = −
1
2
) ; ´ 1 = ´ 111 (s z = +
1
2
) ; ´ 2 = ´ 211 (s z = −
1
2
)
´ 3 = ´ 211 (s z = +
1
2
) ; ´ 4 = ´ 121 (s z = −
1
2
) ; ´ 5 = ´ 121 (s z = +
1
2
)
´ 6 = ´ 112 (s z = −
1
2
) ; ´ 7 = ´ 112 (s z = +
1
2
) etc.
Dans cette nouvelle numérotation des micro-états à une particule, on a
´ 2 = ´ 3 = ´ 4 = ´ 5 = ´ 6 = ´ 7 .
L’indice i, relatif à ´ i désigne maintenant un seul micro-état. Dans le cas des fermions, ce
micro-état ne peut pas être occupé par plus d’une particule à cause du principe de Pauli.
Pour traiter le problème d’un gaz parfait de fermions, on utilise J de préférence à la
fonction de partition canonique Z(N) associée à un nombre de particules constant. En
effet cette dernière s’écrit :
Z(N) =
∼
{n i }
exp(−bE {n i } ) =
∼
{n i }
exp(−b
i
n i ´ i )
(43)
où la somme, notée
∼
, tient compte de la contrainte :
i
n i = N
(44)
qui exprime la conservation du nombre de particules. Ceci est délicat à mettre en oeuvre
et il est préférable d’utiliser la fonction de partition grand canonique où le nombre total
de particules peut varier et prendre n’importe quelle valeur. Bien que (40) puisse s’écrire
sous la forme :
J =
∞
N=0
exp(
mN
kT
)
∼
{n i }
exp(−
n i ´ i
kT
) =
∞
N=0
exp(
mN
kT
)Z(N)
(45)
cela ne simplifie pas le problème car il faut calculer Z(N) pour N fixé puis, comme précédemment, sommer sur N. Il est plus commode de sommer directement sur l’ensemble
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Exemple. Si on a {n i } = {0, 1, 1, 0, 0, ...}, cela signifie que l’on a une particule sur le niveau
´ 1 et l’autre sur le niveau ´ 2 . On a un seul micro-état à 2 particules défini par la donnée de
{n i }. Rappelons (cf. Chapitre 2) que si les particules étaient discernables on aurait au contraire 2
micro-états différents. En effet, si une particule est représentée par le symbole A et l’autre par le
symbole B, il existe deux configurations distinctes : ´ 1 (A), ´ 2 (B) ou ´ 1 (B), ´ 2 (A).
Remarque. Insistons encore sur le fait que, lorsqu’il y a dégénérescence des niveaux à
une particule, plusieurs niveaux à une particule peuvent correspondre à une même valeur
de l’énergie. Reprenons l’exemple de la boîte cubique et, parmi ses niveaux à une particule, considérons le deuxième d’entre eux. Dans la section 2.2.2, nous avons trouvé, pour
des fermions de spin
1
2 , que cet état était six fois dégénéré. On peut en effet avoir n x = 1,
n y = 0, n z = 0, s z = ±
1
2 ; n x = 0, n y = 1, n z = 0, s z = ±
1
2 ou n x = 0, n y = 0, n z = 1,
s z = ±
1
2 . Cela signifie que l’ensemble {j} introduit dans l’expression (40) contient plus
d’un élément. Dans cet exemple particulier où les fermions ont un spin
1
2 , une numérotation naturelle des micro-états serait la suivante :
´ 0 = ´ 111 (s z = −
1
2
) ; ´ 1 = ´ 111 (s z = +
1
2
) ; ´ 2 = ´ 211 (s z = −
1
2
)
´ 3 = ´ 211 (s z = +
1
2
) ; ´ 4 = ´ 121 (s z = −
1
2
) ; ´ 5 = ´ 121 (s z = +
1
2
)
´ 6 = ´ 112 (s z = −
1
2
) ; ´ 7 = ´ 112 (s z = +
1
2
) etc.
Dans cette nouvelle numérotation des micro-états à une particule, on a
´ 2 = ´ 3 = ´ 4 = ´ 5 = ´ 6 = ´ 7 .
L’indice i, relatif à ´ i désigne maintenant un seul micro-état. Dans le cas des fermions, ce
micro-état ne peut pas être occupé par plus d’une particule à cause du principe de Pauli.
Pour traiter le problème d’un gaz parfait de fermions, on utilise J de préférence à la
fonction de partition canonique Z(N) associée à un nombre de particules constant. En
effet cette dernière s’écrit :
Z(N) =
∼
{n i }
exp(−bE {n i } ) =
∼
{n i }
exp(−b
i
n i ´ i )
(43)
où la somme, notée
∼
, tient compte de la contrainte :
i
n i = N
(44)
qui exprime la conservation du nombre de particules. Ceci est délicat à mettre en oeuvre
et il est préférable d’utiliser la fonction de partition grand canonique où le nombre total
de particules peut varier et prendre n’importe quelle valeur. Bien que (40) puisse s’écrire
sous la forme :
J =
∞
N=0
exp(
mN
kT
)
∼
{n i }
exp(−
n i ´ i
kT
) =
∞
N=0
exp(
mN
kT
)Z(N)
(45)
cela ne simplifie pas le problème car il faut calculer Z(N) pour N fixé puis, comme précédemment, sommer sur N. Il est plus commode de sommer directement sur l’ensemble
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.