9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
175
L’énergie de Fermi vaut explicitement :
´ F =
p 2
F
2m
=
h 2
2m
3
4pg
2/3
r
2/3 =
2
2m
6p 2
g
2/3
r
2/3
(34)
(nous avons utilisé l’expression h = 2p ). Le nombre de particules dN dont le module
de l’impulsion est compris entre p et p + dp est donné par l’équation (31) lorsque p p F
et il est nul lorsque p p F . Les particules d’impulsion p ont une énergie cinétique égale
à
p 2
2m
. Le gaz étant supposé parfait, il n’a pas d’énergie potentielle et son énergie totale
est égale à :
E =
1
2m
p F
0
p
2 dN =
2pgV
mh 3
p F
0
p
4 dp =
2pgV
mh 3
p 5
F
5
(35)
ce qui, compte tenu de l’équation (33), donne :
E =
3
5
h 2
2m
3
4pg
2/3
r
5/3 V =
3
5
2
2m
6p 2
g
2/3
r
5/3 V
(36)
Soit, en utilisant la définition (34) de l’énergie de Fermi :
E =
3
5
´ F N
(37)
L’énergie moyenne par particule vaut donc :
E
N
=
3
5
´ F
(38)
L’équation d’état d’un gaz parfait de fermions (équation 21), jointe à l’équation (37),
permet de calculer la pression du gaz :
P =
2
3
E
V
=
2
5
´ F
N
V
=
2
5
´ F r
(39)
D’après l’équation (34), ´ F ∝ r 2/3 , si bien que la pression d’un gaz de fermions complètement dégénéré est proportionnelle à r 5/3 . Cela signifie qu’au zéro absolu l’énergie
et la pression d’un gaz de fermions ne sont pas nulles. Cette propriété est due au principe
d’exclusion de Pauli qui ne permet pas à toutes les particules de se trouver simultanément sur le niveau d’énergie le plus bas. Par conséquent, même à température nulle, les
particules du gaz sont animées d’un mouvement appelé mouvement de Fermi. Comme
l’énergie de Fermi, ´ F , est proportionnelle à r 2/3 les particules seront d’autant plus rapides que le nombre de particules par unité de volume sera grand.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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L’énergie de Fermi vaut explicitement :
´ F =
p 2
F
2m
=
h 2
2m
3
4pg
2/3
r
2/3 =
2
2m
6p 2
g
2/3
r
2/3
(34)
(nous avons utilisé l’expression h = 2p ). Le nombre de particules dN dont le module
de l’impulsion est compris entre p et p + dp est donné par l’équation (31) lorsque p p F
et il est nul lorsque p p F . Les particules d’impulsion p ont une énergie cinétique égale
à
p 2
2m
. Le gaz étant supposé parfait, il n’a pas d’énergie potentielle et son énergie totale
est égale à :
E =
1
2m
p F
0
p
2 dN =
2pgV
mh 3
p F
0
p
4 dp =
2pgV
mh 3
p 5
F
5
(35)
ce qui, compte tenu de l’équation (33), donne :
E =
3
5
h 2
2m
3
4pg
2/3
r
5/3 V =
3
5
2
2m
6p 2
g
2/3
r
5/3 V
(36)
Soit, en utilisant la définition (34) de l’énergie de Fermi :
E =
3
5
´ F N
(37)
L’énergie moyenne par particule vaut donc :
E
N
=
3
5
´ F
(38)
L’équation d’état d’un gaz parfait de fermions (équation 21), jointe à l’équation (37),
permet de calculer la pression du gaz :
P =
2
3
E
V
=
2
5
´ F
N
V
=
2
5
´ F r
(39)
D’après l’équation (34), ´ F ∝ r 2/3 , si bien que la pression d’un gaz de fermions complètement dégénéré est proportionnelle à r 5/3 . Cela signifie qu’au zéro absolu l’énergie
et la pression d’un gaz de fermions ne sont pas nulles. Cette propriété est due au principe
d’exclusion de Pauli qui ne permet pas à toutes les particules de se trouver simultanément sur le niveau d’énergie le plus bas. Par conséquent, même à température nulle, les
particules du gaz sont animées d’un mouvement appelé mouvement de Fermi. Comme
l’énergie de Fermi, ´ F , est proportionnelle à r 2/3 les particules seront d’autant plus rapides que le nombre de particules par unité de volume sera grand.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.