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Physique statistique
Le volume du système étant fixé, J est une constante (cf. équation 24). Par conséquent,
dans l’expression (27), S ne dépend que de E et de N. Mais nous savons que (équations
(4.16) et (4.44)) :
∂S
∂E
V,N
=
1
T
= l 2
(28)
∂S
∂N
V,E
= −
m
T
= l 3
(29)
l 2 et l 3 sont donc reliés à la température T et au potentiel chimique m du système.
L’expression (25) devient :
P i =
1
J
exp
b(mN i − E i )
(30)
qui est identique à l’expression (15). En effet, rappelons que i représente l’ensemble
N, r, {j} caractérisant un micro-état. La quantité J est la fonction de partition grand
canonique. C’est une constante lorsque le volume V, la température T et le potentiel
chimique m du système sont fixés. Si ces quantités prennent des valeurs différentes, J
varie (pour ce qui est de V, nous savons que tout changement du volume entraîne une
modification des niveaux d’énergie à N particules). Par conséquent, on peut écrire :
J = J(T, V, m)
(31)
Ainsi, on peut voir l’ensemble grand canonique sous deux angles différents : il permet
d’étudier, soit un ensemble de systèmes dont la température et le potentiel chimique sont
fixés parce qu’ils sont en équilibre avec des réservoirs de chaleur et de particules, soit
un ensemble de systèmes dont l’énergie moyenne et le nombre de particules moyen sont
constants. Ces deux situations sont, bien entendu, équivalentes.
8.3 LA FONCTION DE PARTITION GRAND CANONIQUE
Reformulons l’équation (27) en tenant compte de (28) et (29) :
S = k Log J +
E
T
−
mN
T
(32)
i.e. :
E − TS − mN = −kT Log J
(33)
Le premier membre de l’équation (33) n’est autre que le grand potentiel C introduit au
chapitre 1 (équations 1.39, 1.40) lorsque l’on considère les variables T, V et m comme
indépendantes. Par conséquent :
C = −kT Log J = C(T, V, m)
(34)
Cette équation est à rapprocher de celle reliant l’énergie libre F à la fonction de partition
Z. Dans ce dernier cas, les variables utilisées étaient T, V et N. Puisque l’on a :
dC = −SdT − PdV − Ndm
(35)
Physique statistique
Le volume du système étant fixé, J est une constante (cf. équation 24). Par conséquent,
dans l’expression (27), S ne dépend que de E et de N. Mais nous savons que (équations
(4.16) et (4.44)) :
∂S
∂E
V,N
=
1
T
= l 2
(28)
∂S
∂N
V,E
= −
m
T
= l 3
(29)
l 2 et l 3 sont donc reliés à la température T et au potentiel chimique m du système.
L’expression (25) devient :
P i =
1
J
exp
b(mN i − E i )
(30)
qui est identique à l’expression (15). En effet, rappelons que i représente l’ensemble
N, r, {j} caractérisant un micro-état. La quantité J est la fonction de partition grand
canonique. C’est une constante lorsque le volume V, la température T et le potentiel
chimique m du système sont fixés. Si ces quantités prennent des valeurs différentes, J
varie (pour ce qui est de V, nous savons que tout changement du volume entraîne une
modification des niveaux d’énergie à N particules). Par conséquent, on peut écrire :
J = J(T, V, m)
(31)
Ainsi, on peut voir l’ensemble grand canonique sous deux angles différents : il permet
d’étudier, soit un ensemble de systèmes dont la température et le potentiel chimique sont
fixés parce qu’ils sont en équilibre avec des réservoirs de chaleur et de particules, soit
un ensemble de systèmes dont l’énergie moyenne et le nombre de particules moyen sont
constants. Ces deux situations sont, bien entendu, équivalentes.
8.3 LA FONCTION DE PARTITION GRAND CANONIQUE
Reformulons l’équation (27) en tenant compte de (28) et (29) :
S = k Log J +
E
T
−
mN
T
(32)
i.e. :
E − TS − mN = −kT Log J
(33)
Le premier membre de l’équation (33) n’est autre que le grand potentiel C introduit au
chapitre 1 (équations 1.39, 1.40) lorsque l’on considère les variables T, V et m comme
indépendantes. Par conséquent :
C = −kT Log J = C(T, V, m)
(34)
Cette équation est à rapprocher de celle reliant l’énergie libre F à la fonction de partition
Z. Dans ce dernier cas, les variables utilisées étaient T, V et N. Puisque l’on a :
dC = −SdT − PdV − Ndm
(35)