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Physique statistique
N est le nombre de particules. Ces fluctuations sont donc négligeables pour un système
macroscopique. Dans ce cas, l’ensemble canonique peut alors avantageusement remplacer l’ensemble microcanonique pour décrire les propriétés d’un système isolé, bien qu’il
ne s’applique, en toute rigueur, qu’à un système en équilibre avec un thermostat.
Remarque. Nous avons supposé que S est couplé à un thermostat extérieur T . Il est aussi
possible d’utiliser l’ensemble canonique pour étudier les propriétés d’un sous-système
appartenant à un système dont la température est égale à T. Cela permet par la suite d’étudier plus facilement les propriétés du système global. Dans ce cas, le rôle du thermostat
est joué par la partie du système complémentaire au sous-système étudié. Par exemple,
le sous-sytème peut être une molécule appartenant à un gaz parfait. Le reste du gaz joue,
pour celle-ci, le rôle du thermostat. Cela peut être aussi l’atome d’un réseau cristallin à
condition qu’il soit faiblement couplé (pour que les énergies soient additives) aux autres
atomes. Le reste du réseau constitue alors un thermostat pour l’atome considéré, etc.. Il
faut néanmoins garder à l’esprit que si l’on se place au niveau quantique, il faut être capable de distinguer le sous-système du reste pour pouvoir l’étudier. Ceci n’est pas toujours
possible si les particules sont indiscernables.
6.2 SYSTÈME DONT L’ÉNERGIE MOYENNE EST FIXÉE
Dans la section précédente, nous avons montré que l’ensemble canonique permet de
décrire les propriétés d’un système en équilibre avec un thermostat à température T.
Nous allons voir à présent qu’il peut être aussi utilisé pour étudier un système dont
l’énergie moyenne est fixée. Pour cela, nous allons utiliser les notions de théorie
de l’information que nous avons introduites au chapitre 3. Considérons un système dont
l’énergie moyenne est fixée et soit P i la probabilité d’occuper un micro-état i. À
l’équilibre, l’entropie d’information :
S = −k
{M}
P i Log P i
(16)
doit être maximum. La somme intervenant dans l’équation (16) porte sur l’ensemble
{M} de tous les micro-états accessibles. Deux contraintes doivent être satisfaites lors
de la recherche du maximum :
{M}
P i = 1
(17)
qui exprime que les probabilités sont normalisées, et :
{M}
P i E i =
(18)
où E i est l’énergie du micro-état i. L’équation (18) signifie que l’énergie moyenne du
système est fixée.
Physique statistique
N est le nombre de particules. Ces fluctuations sont donc négligeables pour un système
macroscopique. Dans ce cas, l’ensemble canonique peut alors avantageusement remplacer l’ensemble microcanonique pour décrire les propriétés d’un système isolé, bien qu’il
ne s’applique, en toute rigueur, qu’à un système en équilibre avec un thermostat.
Remarque. Nous avons supposé que S est couplé à un thermostat extérieur T . Il est aussi
possible d’utiliser l’ensemble canonique pour étudier les propriétés d’un sous-système
appartenant à un système dont la température est égale à T. Cela permet par la suite d’étudier plus facilement les propriétés du système global. Dans ce cas, le rôle du thermostat
est joué par la partie du système complémentaire au sous-système étudié. Par exemple,
le sous-sytème peut être une molécule appartenant à un gaz parfait. Le reste du gaz joue,
pour celle-ci, le rôle du thermostat. Cela peut être aussi l’atome d’un réseau cristallin à
condition qu’il soit faiblement couplé (pour que les énergies soient additives) aux autres
atomes. Le reste du réseau constitue alors un thermostat pour l’atome considéré, etc.. Il
faut néanmoins garder à l’esprit que si l’on se place au niveau quantique, il faut être capable de distinguer le sous-système du reste pour pouvoir l’étudier. Ceci n’est pas toujours
possible si les particules sont indiscernables.
6.2 SYSTÈME DONT L’ÉNERGIE MOYENNE EST FIXÉE
Dans la section précédente, nous avons montré que l’ensemble canonique permet de
décrire les propriétés d’un système en équilibre avec un thermostat à température T.
Nous allons voir à présent qu’il peut être aussi utilisé pour étudier un système dont
l’énergie moyenne
de l’information que nous avons introduites au chapitre 3. Considérons un système dont
l’énergie moyenne
l’équilibre, l’entropie d’information :
S = −k
{M}
P i Log P i
(16)
doit être maximum. La somme intervenant dans l’équation (16) porte sur l’ensemble
{M} de tous les micro-états accessibles. Deux contraintes doivent être satisfaites lors
de la recherche du maximum :
{M}
P i = 1
(17)
qui exprime que les probabilités sont normalisées, et :
{M}
P i E i =
(18)
où E i est l’énergie du micro-état i. L’équation (18) signifie que l’énergie moyenne du
système est fixée.