19. Oscillations forcées avec amortissement
un axe de masse négligeable et est située à mi-chemin entre les roulements à bille B.
Lorsque le compresseur n’est pas en mouvement, le centre de masse de la roue à aubes
est situé de façon excentrique par rapport à la ligne joignant les roulements d’une petite
quantité e (très exagérée sur le diagramme). La rigidité élastique à la courbure de l’axe
est k (une force transverse F appliquée au centre de l’axe produirait un déplacement
transverse de x = F/k en ce point de l’axe).
Figure 19.11
B
B
M
CM
e
ω
(a) Quelle est la fréquence circulaire, ω 0 , des vibrations de courbure du système
lorsque la machine n’est pas en marche ?
(b) Quelle est la déflexion de courbure x de l’axe lorsque la machine tourne à une
vitesse angulaire ω ?
(c) Quelle est la vitesse angulaire critique ω crit à laquelle le compresseur échouera ?
(d) Quelle est la vitesse critique ω
crit , si l’excentricité est réduite d’un facteur deux ?
(e) Si, par une accélération rapide au-delà de la vitesse critique, une vitesse beaucoup
plus élevée est atteinte sans causer de défaillance, où le CM se trouve-t-il situé par
rapport à la ligne joignant les roulements ?
Exercice 19.33 Oscillateur harmonique amorti : une masse m est suspendue d’un
ressort de constante de force k dans un milieu qui exerce un amortissement de la
forme −mγ dx/dt.
(a) Dans le cas d’un mouvement sous-amorti, trouver la solution complète pour la
position x = x(t) de m à tout instant t > 0 pour les forces extérieures suivantes :
1. F =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
pour t < 0
F 0 pour t ≥ 0
2. pas de force excitatrice, mais, à t = 0 une impulsion J = J x est donnée à la
masse m.
3. F =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
pour t < 0
F 0 cos ω 0 t pour t ≥ 0
ω 0 =
k/m
(b) Si l’oscillateur est entraîné par une force sinusoïdale F = F 0 cos ωt et que nous
considérons des temps longs, quelle est la fréquence ω ∗ pour laquelle l’amplitude
atteint un maximum ?
Note : Se rappeler que la solution complète contient à la fois un mouvement permanent
et un mouvement de transition, et que les conditions initiales déterminent les constantes
d’intégration.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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un axe de masse négligeable et est située à mi-chemin entre les roulements à bille B.
Lorsque le compresseur n’est pas en mouvement, le centre de masse de la roue à aubes
est situé de façon excentrique par rapport à la ligne joignant les roulements d’une petite
quantité e (très exagérée sur le diagramme). La rigidité élastique à la courbure de l’axe
est k (une force transverse F appliquée au centre de l’axe produirait un déplacement
transverse de x = F/k en ce point de l’axe).
Figure 19.11
B
B
M
CM
e
ω
(a) Quelle est la fréquence circulaire, ω 0 , des vibrations de courbure du système
lorsque la machine n’est pas en marche ?
(b) Quelle est la déflexion de courbure x de l’axe lorsque la machine tourne à une
vitesse angulaire ω ?
(c) Quelle est la vitesse angulaire critique ω crit à laquelle le compresseur échouera ?
(d) Quelle est la vitesse critique ω
crit , si l’excentricité est réduite d’un facteur deux ?
(e) Si, par une accélération rapide au-delà de la vitesse critique, une vitesse beaucoup
plus élevée est atteinte sans causer de défaillance, où le CM se trouve-t-il situé par
rapport à la ligne joignant les roulements ?
Exercice 19.33 Oscillateur harmonique amorti : une masse m est suspendue d’un
ressort de constante de force k dans un milieu qui exerce un amortissement de la
forme −mγ dx/dt.
(a) Dans le cas d’un mouvement sous-amorti, trouver la solution complète pour la
position x = x(t) de m à tout instant t > 0 pour les forces extérieures suivantes :
1. F =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
pour t < 0
F 0 pour t ≥ 0
2. pas de force excitatrice, mais, à t = 0 une impulsion J = J x est donnée à la
masse m.
3. F =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
pour t < 0
F 0 cos ω 0 t pour t ≥ 0
ω 0 =
k/m
(b) Si l’oscillateur est entraîné par une force sinusoïdale F = F 0 cos ωt et que nous
considérons des temps longs, quelle est la fréquence ω ∗ pour laquelle l’amplitude
atteint un maximum ?
Note : Se rappeler que la solution complète contient à la fois un mouvement permanent
et un mouvement de transition, et que les conditions initiales déterminent les constantes
d’intégration.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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