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10 Heat and Matter
10.23 Heat flow
dQ = A
dT
dx
k = A aT
dT
dx
or
A aT dT = dQ dx
Integrating
A a
T 1
T 2
T dT =
Q
0
dQ
L
0
dx
∴
Aa
2
T
2
1 − T
2
2
= QL
or
Q =
a A
2L
T
2
1 − T
2
2
10.24 dQ
dt
= −k A
dT
dr
∴ dT = −
1
k
dQ
dt
dr
4πr 2
When steady state is reached, dQ/dt will be independent of r and is constant
(Fig. 10.9). Integrating
T 2
T 1
dT = −
1
4π k
dQ
dt
r 2
r 1
dr
r 2 = −
1
4π k
1
r 2
−
1
r 1
dQ
dt
∴ T 2 − T 1 =
1
4π k
(r 1 − r 2 )
r 1 r 2
dQ
dt
or T 1 − T 2 =
1
4π k
(r 2 − r 1 )
r 1 r 2
dQ
dt
∴
dQ
dt
= 4π k
r 1 r 2
r 2 − r 1
(T 1 − T 2 )
Fig. 10.9 Radial flow of heat
through two concentric
spheres
10.25 Rate of flow of heat
dQ
dt
= −k A
dT
dr
(1)