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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
Il vient alors :
(V )
F i dv =
(V )
∂T ik
∂x k
dv =
(∂V )
T ik ds k
(2.23)
où ds k désigne les composantes de l’élément de surface ds, aire sur laquelle le
milieu extérieur au volume (V ) exerce la force élémentaire d f i = T ik ds k (cf. figure
2.2).
De même que S ik , T ik est un tenseur symétrique. Cette propriété découle du fait
que, à l’instar de la résultante des forces, le moment g mn des forces de contraintes
internes se ramène à une intégrale de surface conformément à la relation
(1) :
g mn =
(V )
(F m x n − F n x m ) dv =
(∂V )
(T mk x n − T nk x m ) ds k
(2.24)
De par leur symétrie, les tenseurs de déformation et de contrainte sont construits
à partir de six composantes distinctes, quantités dont la signification physique est
précisée dans le tableau 2.1. Afin d’alléger les écritures, l’ingénieur a souvent recours
à une notation condensée (cf. 2
e colonne du tableau 2.1) fondée sur l’utilisation de
« vecteurs » à six composantes S l et T l . Les indices 1, 2, 3 se rapportent alors aux
tensions normales (traction, compression) le long des 3 axes du repère tandis que les
indices 4, 5, et 6 ont trait aux effets de cisaillement autour de ces mêmes axes.
Enfin, on montre que le travail par unité de volume des forces de contraintes internes, lors d’une variation dS ik du tenseur de déformation, s’exprime par [41] :
dW = T ik dS ik (= T l dS l )
(2.25)
Par conséquent, considérant une déformation élastique
(2) opérée selon un processus quasi-statique et donc réversible d’un point de vue thermodynamique, la variation
d’énergie interne U du corps s’identifie au travail des forces de contraintes, en supposant que l’entropie volumique s et les autres paramètres extensifs Q j dont dépend
éventuellement l’énergie sont maintenus constants (cf. chapitre 3). Dès lors, les composantes du tenseur de contrainte satisfont à la relation :
T ik =
∂U
∂ S ik
s,Q j
(2.26)
(1) Le moment par rapport à O d’une force f s’appliquant en M forme par définition le tenseur antisymétrique
du deuxième rang de composantes ( fm xn − fn xm ). On utilise souvent le pseudo-vecteur g = OM ∧ f adjoint
à ce tenseur (cf. section A.3.5) dont les composantes s’écrivent sous forme indicielle g i = e ikl f k x l (e ikl
désigne le symbole d’antisymétrie, cf. section A.1.2).
(2) On exclut de notre propos le cas des déformations plastiques pour lesquelles subsiste une déformation
résiduelle après que les forces extérieures ont été supprimées.
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
Il vient alors :
(V )
F i dv =
(V )
∂T ik
∂x k
dv =
(∂V )
T ik ds k
(2.23)
où ds k désigne les composantes de l’élément de surface ds, aire sur laquelle le
milieu extérieur au volume (V ) exerce la force élémentaire d f i = T ik ds k (cf. figure
2.2).
De même que S ik , T ik est un tenseur symétrique. Cette propriété découle du fait
que, à l’instar de la résultante des forces, le moment g mn des forces de contraintes
internes se ramène à une intégrale de surface conformément à la relation
(1) :
g mn =
(V )
(F m x n − F n x m ) dv =
(∂V )
(T mk x n − T nk x m ) ds k
(2.24)
De par leur symétrie, les tenseurs de déformation et de contrainte sont construits
à partir de six composantes distinctes, quantités dont la signification physique est
précisée dans le tableau 2.1. Afin d’alléger les écritures, l’ingénieur a souvent recours
à une notation condensée (cf. 2
e colonne du tableau 2.1) fondée sur l’utilisation de
« vecteurs » à six composantes S l et T l . Les indices 1, 2, 3 se rapportent alors aux
tensions normales (traction, compression) le long des 3 axes du repère tandis que les
indices 4, 5, et 6 ont trait aux effets de cisaillement autour de ces mêmes axes.
Enfin, on montre que le travail par unité de volume des forces de contraintes internes, lors d’une variation dS ik du tenseur de déformation, s’exprime par [41] :
dW = T ik dS ik (= T l dS l )
(2.25)
Par conséquent, considérant une déformation élastique
(2) opérée selon un processus quasi-statique et donc réversible d’un point de vue thermodynamique, la variation
d’énergie interne U du corps s’identifie au travail des forces de contraintes, en supposant que l’entropie volumique s et les autres paramètres extensifs Q j dont dépend
éventuellement l’énergie sont maintenus constants (cf. chapitre 3). Dès lors, les composantes du tenseur de contrainte satisfont à la relation :
T ik =
∂U
∂ S ik
s,Q j
(2.26)
(1) Le moment par rapport à O d’une force f s’appliquant en M forme par définition le tenseur antisymétrique
du deuxième rang de composantes ( fm xn − fn xm ). On utilise souvent le pseudo-vecteur g = OM ∧ f adjoint
à ce tenseur (cf. section A.3.5) dont les composantes s’écrivent sous forme indicielle g i = e ikl f k x l (e ikl
désigne le symbole d’antisymétrie, cf. section A.1.2).
(2) On exclut de notre propos le cas des déformations plastiques pour lesquelles subsiste une déformation
résiduelle après que les forces extérieures ont été supprimées.