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3 • Le point de vue thermodynamique
d) Le corps étant soumis à une excitation magnétique alternative d’amplitude H 0
suffisamment grande pour saturer le matériau, déduire de la question précédente une
interprétation thermodynamique du phénomène d’hystérésis.
e) Déterminer alors l’expression du champ coercitif H c J en fonction des températures Q, Q c et des coefficients a et b.
(Réponse : |H cJ | =
2b J
3
r
3
√
3
)
3.3. Bille magnétique en suspension
On considère un dispositif de suspension magnétique constitué d’un électroaimant
en interaction avec une bille ferromagnétique de masse m. La bille se déplace selon
un axe (Ox) de direction verticale orienté vers le bas. L’électroaimant est alimenté
par une source appliquant à ses bornes une tension v a donnée. Le champ de gravitation fait intervenir le potentiel extérieur V e (x) = −mgx. On suppose d’autre que,
le long de la course considérée, l’énergie libre stockée sous forme magnétique est
définie par :
F mag (x, w) =
1
2
w 2
l (x)
avec l (x) = l 0 +
a
x
où l 0 et a sont des constantes positives, w désignant le flux magnétique embrassé par
la bobine de l’électroaimant. On conviendra dans tout le problème de raisonner en
termes de la convention électrostatique.
a) La bobine étant parcourue par un courant d’intensité i constante, déduire
de la loi de conservation de l’énergie la condition d’équilibre de la bille ; montrer qu’il est judicieux d’introduire à cette fin un potentiel thermodynamique
G
mag = F mag + V e − iw ; prouver alors que l’équilibre est nécessairement instable.
b) Donner l’expression de la fonction de Lagrange associée au système.
(Réponse : L (x, ˙
x, t) =
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
li
2 + mgx + v a q c )
c) En déduire la loi du mouvement et l’équation électrique gouvernant le fonctionnement du système.
3.4. Énergie libérée par un aimant permanent
On considère un aimant permanent de forme cylindrique, dont la polarisation J
supposée uniforme, est orientée perpendiculairement à son axe de révolution. Cet aimant est placé au centre d’un alésage de rayon a, délimité par une culasse de très
forte perméabilité devant celle de l’air. La surface de l’aimant est séparée de celle
de la culasse par un entrefer d’épaisseur e constante. On admet que le champ d’excitation H régnant dans l’entrefer, rapporté à un système de coordonnées cylindriques
(r , u, z) dont l’axe polaire est orienté parallèlement à J, est défini en termes de ses
3 • Le point de vue thermodynamique
d) Le corps étant soumis à une excitation magnétique alternative d’amplitude H 0
suffisamment grande pour saturer le matériau, déduire de la question précédente une
interprétation thermodynamique du phénomène d’hystérésis.
e) Déterminer alors l’expression du champ coercitif H c J en fonction des températures Q, Q c et des coefficients a et b.
(Réponse : |H cJ | =
2b J
3
r
3
√
3
)
3.3. Bille magnétique en suspension
On considère un dispositif de suspension magnétique constitué d’un électroaimant
en interaction avec une bille ferromagnétique de masse m. La bille se déplace selon
un axe (Ox) de direction verticale orienté vers le bas. L’électroaimant est alimenté
par une source appliquant à ses bornes une tension v a donnée. Le champ de gravitation fait intervenir le potentiel extérieur V e (x) = −mgx. On suppose d’autre que,
le long de la course considérée, l’énergie libre stockée sous forme magnétique est
définie par :
F mag (x, w) =
1
2
w 2
l (x)
avec l (x) = l 0 +
a
x
où l 0 et a sont des constantes positives, w désignant le flux magnétique embrassé par
la bobine de l’électroaimant. On conviendra dans tout le problème de raisonner en
termes de la convention électrostatique.
a) La bobine étant parcourue par un courant d’intensité i constante, déduire
de la loi de conservation de l’énergie la condition d’équilibre de la bille ; montrer qu’il est judicieux d’introduire à cette fin un potentiel thermodynamique
G
mag = F mag + V e − iw ; prouver alors que l’équilibre est nécessairement instable.
b) Donner l’expression de la fonction de Lagrange associée au système.
(Réponse : L (x, ˙
x, t) =
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
li
2 + mgx + v a q c )
c) En déduire la loi du mouvement et l’équation électrique gouvernant le fonctionnement du système.
3.4. Énergie libérée par un aimant permanent
On considère un aimant permanent de forme cylindrique, dont la polarisation J
supposée uniforme, est orientée perpendiculairement à son axe de révolution. Cet aimant est placé au centre d’un alésage de rayon a, délimité par une culasse de très
forte perméabilité devant celle de l’air. La surface de l’aimant est séparée de celle
de la culasse par un entrefer d’épaisseur e constante. On admet que le champ d’excitation H régnant dans l’entrefer, rapporté à un système de coordonnées cylindriques
(r , u, z) dont l’axe polaire est orienté parallèlement à J, est défini en termes de ses