16. Rotations à trois dimensions
Figure 16.20
x
y
z
ω0
m
v0
R
(a) Quelle est la direction du moment cinétique L du disque après la collision ?
(b) Décrire le mouvement de l’axe de la figure. Indiquer par un croquis la trajectoire
du point d’intersection de l’axe de la figure avec une sphère de rayon unité vue
d’en haut.
Exercice 16.35 Un paire de volants en forme de disques de 10 cm de rayon, de masse
2 kg, avec des supports sans frottements tournent à 1000 radian s −1 et sont portés à une
distance d = 15 cm de chaque côté d’un support universel par une barre de petit diamètre AB de masse M = 1 kg et de longueur 4d, comme sur la figure 16.21.
Figure 16.21
A
B
x
y
z
d
d
d
d
(a) Si une balle de masse m = 10 g est lâchée d’une hauteur h = 5 cm sur le bout A de
la barre et rebondit vers le haut, donner les composantes du moment cinétique L
des volants qui en résulte et dessiner le mouvement du bout de la barre dans la
direction +x. Donner également la vitesse angulaire Ω n de ce mouvement et le
rayon r du cercle décrit par l’extrémité une fois que le mouvement circulaire est
atteint.
(b) Si la même balle était attachée à l’extrémité A, quelle serait la vitesse angulaire de
précession Ω P , en négligeant la nutation ? Quel serait le moment cinétique L P et
l’énergie cinétique de rotation T P associée Ω P ? Combien d’énergie potentielle ΔE
est perdue lorsque l’extrémité descend en dessous du plan xy ?
Exercice 16.36 La Lune et le Soleil exercent tous deux un couple sur la Terre à cause
de l’aplatissement aux pôles de la Terre. Lequel des deux corps exerce le couple le plus
important, et de quel facteur ?
Remarque 1 : On peut utiliser le fait, accidentel, que les deux corps, vus de la Terre,
sous-tendent des angles presque égaux dans le ciel.
Remarque 2 : La densité moyenne du Soleil est de 1,41 g cm −3 , et celle de la Lune
de 3,34 g cm −3 .
Exercice 16.37 Le rayon équatorial de la Terre est de 6378,388 km alors que son
rayon polaire est de 6356,912 km. La pesanteur spécifique ρ à diverses profondeurs D
sous la surface est montrée dans la table ci-dessous ( ∗ indique une discontinuité).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
87
Figure 16.20
x
y
z
ω0
m
v0
R
(a) Quelle est la direction du moment cinétique L du disque après la collision ?
(b) Décrire le mouvement de l’axe de la figure. Indiquer par un croquis la trajectoire
du point d’intersection de l’axe de la figure avec une sphère de rayon unité vue
d’en haut.
Exercice 16.35 Un paire de volants en forme de disques de 10 cm de rayon, de masse
2 kg, avec des supports sans frottements tournent à 1000 radian s −1 et sont portés à une
distance d = 15 cm de chaque côté d’un support universel par une barre de petit diamètre AB de masse M = 1 kg et de longueur 4d, comme sur la figure 16.21.
Figure 16.21
A
B
x
y
z
d
d
d
d
(a) Si une balle de masse m = 10 g est lâchée d’une hauteur h = 5 cm sur le bout A de
la barre et rebondit vers le haut, donner les composantes du moment cinétique L
des volants qui en résulte et dessiner le mouvement du bout de la barre dans la
direction +x. Donner également la vitesse angulaire Ω n de ce mouvement et le
rayon r du cercle décrit par l’extrémité une fois que le mouvement circulaire est
atteint.
(b) Si la même balle était attachée à l’extrémité A, quelle serait la vitesse angulaire de
précession Ω P , en négligeant la nutation ? Quel serait le moment cinétique L P et
l’énergie cinétique de rotation T P associée Ω P ? Combien d’énergie potentielle ΔE
est perdue lorsque l’extrémité descend en dessous du plan xy ?
Exercice 16.36 La Lune et le Soleil exercent tous deux un couple sur la Terre à cause
de l’aplatissement aux pôles de la Terre. Lequel des deux corps exerce le couple le plus
important, et de quel facteur ?
Remarque 1 : On peut utiliser le fait, accidentel, que les deux corps, vus de la Terre,
sous-tendent des angles presque égaux dans le ciel.
Remarque 2 : La densité moyenne du Soleil est de 1,41 g cm −3 , et celle de la Lune
de 3,34 g cm −3 .
Exercice 16.37 Le rayon équatorial de la Terre est de 6378,388 km alors que son
rayon polaire est de 6356,912 km. La pesanteur spécifique ρ à diverses profondeurs D
sous la surface est montrée dans la table ci-dessous ( ∗ indique une discontinuité).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
87