14. Rotations à deux dimensions, le centre de masse
14. ROTATIONS À DEUX DIMENSIONS, LE CENTRE
DE MASSE
On se référera au Cours de Physique de Feynman, Mécanique 1, Chap. 18 et 19.
Exercice 14.1 Une roue rigide de rayon R roule sans glisser sur une surface horizontale. Le plan de la roue est vertical, et l’axe de la roue se déplace horizontalement à une
vitesse V par rapport à la surface. Si l’axe de la roue est parallèle à l’axe z, V est dans
la direction x-positif, et θ est l’angle dont la roue a tourné depuis qu’un certain point P
sur son bord a été en contact avec le sol, montrer que la vitesse instantanée (valeur et
direction) du point P est donnée par :
u = V ((1 − cos θ)i + sin θ j) .
Exercice 14.2 La connaissance de l’aire (ou du volume) balayée par une courbe plane
(ou une aire) peut être utilisée pour trouver le centre de masse d’un fil métallique fin ou
d’une plaque plate fine.
Figure 14.1
(a)
(b)
O
O
r
CM
C
CM
r
A
α
α
(a) Montrer que l’aire A balayée par la courbe plane C dans sa rotation d’un angle α
autour de l’axes O dans le plan de C, comme sur la figure 14.1(a), est égale à la
longueur l de C, multipliée par la distance αr dont le CM se déplace,
A = αrl,
(où r est la distance de CM à O).
(b) Montrer que le volume V balayé par l’aire plane A dans une rotation d’un angle α
autour de l’axe O, représenté sur la figure 14.1(b), est égal à l’aire A multipliée par
la distance dont se déplace le CM,
V = αrA.
Exercice 14.3 Montrer que le CM d’un ensemble quelconque de particules se déplace comme le ferait une seule particule ayant comme masse la somme des masses
individuelles, et sujette à la somme des forces appliquées à chacune de ces particules,
M ¨
R =
i
f i .
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