Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
11.2 Circuit en régime sinusoïdal
1. À basses fréquences, la capacité C se comporte comme un interrupteur ouvert donc s = e.
A hautes fréquences, le comportement est celui d’un fil donc s = 0. On en déduit qu’il s’agit
d’un filtre passe-bas.
2. Par la relation du pont diviseur de tension, on en déduit la fonction de transfert H =
1
1 + jRCω
=
H 0
1 + j
ω
ω 0
avec H 0 = 1 et ω 0 =
1
RC
.
3. On obtient le gain G =
1
√
1 + R 2 C 2 ω 2
qui est une fonction décroissante.
4. Le déphasage s’exprime par ϕ = −ArctanRCω qui est une fonction décroissante.
5. Pour ω ω 0 , le gain G tend vers 1, G dB vers 0 et ϕ vers 0.
6. Pour ω ω 0 , le gain G tend vers 0, G dB vers −∞ et ϕ vers −
π
2
.
11.3 Étude expérimentale d’un circuit RC
e
R
L
C
A
1.
2. On utilise la notation complexe et : i =
e
Z =
e
R+ j(Lω− 1
Cω )
. On en déduit le module : I =
E
R 2 +
Lω −
1
Cω
2
et le déphasage ϕ tel que tan ϕ =
−Lω +
1
Cω
R
.
3. On considère ici I comme une fonction de C : I est maximale si f (C) = R
2
+
Lω −
1
Cω
2
est minimale. Or f (C) > R 2 pour toute valeur de C et f (C) = R 2 pour C = C 0 =
1
Lω 2 . La
fonction I(C) présente bien un maximum.
4. Pour obtenir les valeurs de C 1 et de C 2 , il faut résoudre : I =
E
R 2 +
Lω −
1
Cω
2
=
I 0
√
2
avec I 0 =
E
R . Cela conduit à l’équation : R 2 +
Lω −
1
Cω
2 = 2R 2 soit Lω −
1
Cω = ±R. On en
déduit : C 1 =
1
Lω 2 + Rω
et C 2 =
1
Lω 2 − Rω
.
5. C 1 et C 2 sont supposés proches, ce qui sera possible si Lω 2 Rω soit Lω R.
6. Dans le cadre de cette approximation : C 1 ≈
1
Lω 2
1 −
R
Lω
et C 2 ≈
1
Lω 2
1 +
R
Lω
donc : C 0 − C 1 = C 2 − C 0 =
R
L 2 ω 3 .
407