½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿½½
ÚÔÓÖÖØØÓÒ ´´Ð ׳³³³Ø ÖÖÖØÙÖÖ× ÐÐÐÐ× × ÓÒØÖÖÖÒØØ× ØØØÖÑÑÕÙÙ×µ¸ ´´´´µ ÐÐ
×ÙÖÖÖÖÖ ³ÙÒ ÐÐÕÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ×× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½ººµ¸ Øغ ij³³ÓÒÒÒÒÒÒ
ÑÓØØØ Ò³³×Ø ÔÔ× ÙÙ Ù ××ÖÖ¸ ÑÑÑ× ÐÐÐ ÖÖ×ÙÐØØ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ××ÙÙ×
³ÙÒ ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÒÒØÙÖÖÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÔÖÖÖÖÒÒÒÖ ÔÔÖØØÖ
ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ× º
½¿º¾º½ ÑÑÖÖÖÒÒÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ×
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ø ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ÚÙ ÖÖÔÖÖ××× Ù ÓÙÖ× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸
ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÔÖÓÔÖÖ× Ù ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÓÒØ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ ××Ù× ³ÙÒÒ
Ò ××ÖÖÖ ÓÙÖÖÖÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ׺
ËË × ÑÓÓÓ× ÒÒ ×× ÓÙÔÐÐÒØ ÔÔ× Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ð Ò³³Ò ÚÚ ÔÔ×
ÑÑÑÑ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ׺ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ³ÙÒ ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ
×× ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ ÖÖÚÓÒ×¹ÐÐ ÐÓÖ× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
A 1 e
ii q1.. r
º ÍÒÒ ÓÓ× Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÑÓÖÖÖÖ¸ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÒÒ ÔÔÙÚÒØ ÔÐÙ×
ØÖÖ ÒÓÖÖ× Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐ ×Ø ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓ ÒÒ¹
ØØØÐ A 1 e
ii q1.. r
ÒÒØ ÔÔÖ ×× ÓÙÔÐÐÖ ³³ÙØÖÖ× ÑÓÓÓ׺ ÈÓÙÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÖÖÖ¸ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×× Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×³³³ÖÖØ A 1 e
ii q1.. r
+ A 2 e
ii q2.. r
Ú q 2 ÓÖØØÓÓÓÒÒÐ q 1 ´ÐÐ× ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÒÓÖÑѵº ÈÓÙÖ
ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ A 1 e
ii q1.. r
+ A 2 e
ii q2.. r
+ A 3 e
ii q3.. r
Ú q 1 + q 2 + q 3 = 0¸ ¸ Ø º
ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÖÖÐÐ ØÓÙØ ÑÓÓÓ ØØÐ ÕÙÙ A n e
ii qn.. r
´´Ú n ÒØØØÖ Ø | q n | = q c µ
×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓ××××Ðк ÄÄ ÓÖÑÑØØÓÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÓÒ×××ØØ Ò ÙÒÒ
ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ × ÑÓÓÓ× ×× ´´ÓÑÑÑ ÒÒÒÕÙÙ ÔÐÙ× ÙØ ÔÓÙÖ ÐÐ × ÖÖÖ Ø
ÜÜÜÓÒÒеº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÒÒØØØÐ ÕÙÙ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ ÑÓÓÓ× ×× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÜ ÑÓÓÓ× ÔÓÙÖ ÐÐ×
ÖÖÖ׸ ØÖÓÓ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ×µ¸ Ø ÐÐÙÖ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÝÒØ
× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÒÓÖÑÑ 2q c , 3q c ...º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ
××ÙÐ ÐÐ ÑÓÓÓ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ÚÚÚØØÙÖ ÝÒØ ÓÑÑÑ ÒÓÖÑÑ q c ×Ø Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ³ÓÖÖÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺
ÄÄ× ÑÓÓÓ× ÕÙÙ ×× ÓÙÔÐÐÒØ Ù ÑÓÓÓ ÒÒØØØÐ A 1 e
iq1.r
×ÓÒØ ÙÜ ÓÒØ Ð Ú ØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ×Ø ÕÙÙ×× Ð ÐÙÙ Ù ÑÓÓÓ ÒÒØØØÐ q 1 Ð Ô Ö Ó ÜÜÑÑØØ × ÑÓÓÓ× ×¹
×ÙÖÖ ÙÒ ÓÙÔÐÐÐÐ ÓÑÑÒÒÒØ Ø ³³×Ø ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒº ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÒÚÚ××××××ÐÐ Ò× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ×
ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ Ò ÔÖÓÓÙÙØ ÙÜ ÙÜ ´´´´ÕÙÙ ÔÖÓ¹
ÙÙØ ÑÓÓÓ Ð³³³³³ØØÓÒ × ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи
ÐÐ ÓÙÔÐÐÐÐ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÒÙÑÑÖÓØØ× ¾ Ø ¿ ÓÒÒÒ ÐÐ ÑÓÓÓ ×ÙÙÚÒØ Ø
A 2 e
ii q2.. r A 3 e
ii q3.. r
= A 2 A 3 e
i( q2+q3).. r
ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÙÜ ÑÓÓÓ× Óѹ
ÔÐÐÜÜ× ÓÒÒÙÙÙÙ× ÔÔÙØ ÔÔÔÖÖÖØÖÖ Ò× ÙÒ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
ij³ÖÖÙÑÑÒØ ÕÙÙ ×ÙÙØ ÒÒ ÖÖÔÓ×× ÓÒÒ ÔÔ× ×ÙÖ ÙÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÓÙ ÙÒ ÓÓÑѸ ÓÑÑÑ ÐÙÙ ³ÙÒÒ
ÓÑÔÔÔÔØØ ÑÑÜÜÑÑÐи ÑÑÑ× Ð ×³³ÔÔÙÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÒÒØÙÖÖк
Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ Ù ÒÓÑÑÖÖ ³ÓÒÒÒ q 1 ´´ººº | q 1 |µ ×× ØÖÓÙÚ ×ÙÖ ÙÒ ÖÖÐÐ
ÖÖÝÓÒ qc¸ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾º
¿½½
ÚÔÓÖÖØØÓÒ ´´Ð ׳³³³Ø ÖÖÖØÙÖÖ× ÐÐÐÐ× × ÓÒØÖÖÖÒØØ× ØØØÖÑÑÕÙÙ×µ¸ ´´´´µ ÐÐ
×ÙÖÖÖÖÖ ³ÙÒ ÐÐÕÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ×× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½ººµ¸ Øغ ij³³ÓÒÒÒÒÒÒ
ÑÓØØØ Ò³³×Ø ÔÔ× ÙÙ Ù ××ÖÖ¸ ÑÑÑ× ÐÐÐ ÖÖ×ÙÐØØ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ××ÙÙ×
³ÙÒ ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÒÒØÙÖÖÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÔÖÖÖÖÒÒÒÖ ÔÔÖØØÖ
ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ× º
½¿º¾º½ ÑÑÖÖÖÒÒÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ×
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ø ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ÚÙ ÖÖÔÖÖ××× Ù ÓÙÖ× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸
ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÔÖÓÔÖÖ× Ù ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÓÒØ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ ××Ù× ³ÙÒÒ
Ò ××ÖÖÖ ÓÙÖÖÖÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ׺
ËË × ÑÓÓÓ× ÒÒ ×× ÓÙÔÐÐÒØ ÔÔ× Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ð Ò³³Ò ÚÚ ÔÔ×
ÑÑÑÑ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ׺ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ³ÙÒ ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ
×× ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ ÖÖÚÓÒ×¹ÐÐ ÐÓÖ× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
A 1 e
ii q1.. r
º ÍÒÒ ÓÓ× Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÑÓÖÖÖÖ¸ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÒÒ ÔÔÙÚÒØ ÔÐÙ×
ØÖÖ ÒÓÖÖ× Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐ ×Ø ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓ ÒÒ¹
ØØØÐ A 1 e
ii q1.. r
ÒÒØ ÔÔÖ ×× ÓÙÔÐÐÖ ³³ÙØÖÖ× ÑÓÓÓ׺ ÈÓÙÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÖÖÖ¸ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×× Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×³³³ÖÖØ A 1 e
ii q1.. r
+ A 2 e
ii q2.. r
Ú q 2 ÓÖØØÓÓÓÒÒÐ q 1 ´ÐÐ× ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÒÓÖÑѵº ÈÓÙÖ
ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ A 1 e
ii q1.. r
+ A 2 e
ii q2.. r
+ A 3 e
ii q3.. r
Ú q 1 + q 2 + q 3 = 0¸ ¸ Ø º
ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÖÖÐÐ ØÓÙØ ÑÓÓÓ ØØÐ ÕÙÙ A n e
ii qn.. r
´´Ú n ÒØØØÖ Ø | q n | = q c µ
×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓ××××Ðк ÄÄ ÓÖÑÑØØÓÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÓÒ×××ØØ Ò ÙÒÒ
ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ × ÑÓÓÓ× ×× ´´ÓÑÑÑ ÒÒÒÕÙÙ ÔÐÙ× ÙØ ÔÓÙÖ ÐÐ × ÖÖÖ Ø
ÜÜÜÓÒÒеº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÒÒØØØÐ ÕÙÙ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ ÑÓÓÓ× ×× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÜ ÑÓÓÓ× ÔÓÙÖ ÐÐ×
ÖÖÖ׸ ØÖÓÓ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ×µ¸ Ø ÐÐÙÖ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÝÒØ
× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÒÓÖÑÑ 2q c , 3q c ...º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ
××ÙÐ ÐÐ ÑÓÓÓ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ÚÚÚØØÙÖ ÝÒØ ÓÑÑÑ ÒÓÖÑÑ q c ×Ø Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ³ÓÖÖÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺
ÄÄ× ÑÓÓÓ× ÕÙÙ ×× ÓÙÔÐÐÒØ Ù ÑÓÓÓ ÒÒØØØÐ A 1 e
iq1.r
×ÓÒØ ÙÜ ÓÒØ Ð Ú ØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ×Ø ÕÙÙ×× Ð ÐÙÙ Ù ÑÓÓÓ ÒÒØØØÐ q 1 Ð Ô Ö Ó ÜÜÑÑØØ × ÑÓÓÓ× ×¹
×ÙÖÖ ÙÒ ÓÙÔÐÐÐÐ ÓÑÑÒÒÒØ Ø ³³×Ø ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒº ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÒÚÚ××××××ÐÐ Ò× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ×
ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ Ò ÔÖÓÓÙÙØ ÙÜ ÙÜ ´´´´ÕÙÙ ÔÖÓ¹
ÙÙØ ÑÓÓÓ Ð³³³³³ØØÓÒ × ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи
ÐÐ ÓÙÔÐÐÐÐ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÒÙÑÑÖÓØØ× ¾ Ø ¿ ÓÒÒÒ ÐÐ ÑÓÓÓ ×ÙÙÚÒØ Ø
A 2 e
ii q2.. r A 3 e
ii q3.. r
= A 2 A 3 e
i( q2+q3).. r
ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÙÜ ÑÓÓÓ× Óѹ
ÔÐÐÜÜ× ÓÒÒÙÙÙÙ× ÔÔÙØ ÔÔÔÖÖÖØÖÖ Ò× ÙÒ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
ij³ÖÖÙÑÑÒØ ÕÙÙ ×ÙÙØ ÒÒ ÖÖÔÓ×× ÓÒÒ ÔÔ× ×ÙÖ ÙÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÓÙ ÙÒ ÓÓÑѸ ÓÑÑÑ ÐÙÙ ³ÙÒÒ
ÓÑÔÔÔÔØØ ÑÑÜÜÑÑÐи ÑÑÑ× Ð ×³³ÔÔÙÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÒÒØÙÖÖк
Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ Ù ÒÓÑÑÖÖ ³ÓÒÒÒ q 1 ´´ººº | q 1 |µ ×× ØÖÓÙÚ ×ÙÖ ÙÒ ÖÖÐÐ
ÖÖÝÓÒ qc¸ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾º