½º ÈÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ÖÖÒÒÒ× ÐÐÐÒÒ×
ÙÖÖ ½º¿ ÍÒ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÙÒÒ ÕÙÙÒØØØØ Q ØÝÔÔÕÙÙ Ù
×Ý×ØØÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØÙÙÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÄÄ ÐÐÐÒÒ ÖÖ×××
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÖÖÒÒ Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐÒÒ ÓÒØØÒÙÙ ×× ÖÖÖÖÖÖ ÙÒÒ
×ØØØÐк
ÖÖ×××ØØÒØ ÙÒ ÐÐ Ù ÑÓÓÓÐк ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÓÔØØÓÒ× ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÔÔÖØØÖ ³³ÝÔÓØØØ××× ØÙÙÙ× ÔÖÖÓÖÖº
ÄÓÖ×ÕÙ³³Ò ØÙÙÙÙÒØ ÐÐ ÖÓÓÙ×ØØ××× Ù ÑÓÓÓÐÐ Ò ÐÙÙ ÒÒÒÒÒÒÒØ ÙÒ Ø ÑÑÒÒÙÖ¸
ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÐÓÖ×
ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ Ø ×ØÖÙÙØÙÖ Ò×ØØØÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ
ØÖÖ ÖÖØØÒÙ ÓÑÑÑ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÔØØ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑѺ
ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ Ø ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐРݹ
ÒÒÑÑÕÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØк ÈÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒظ Ò ÔÔÔÐÐÐÒØ x(t)
ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù
ØØÑÔ× tµ¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ØØ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ×× ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
dx
dt
= −
dV (x)
dx
´½º¾µ
ÓÓ V (x) ×Ø ÐÐ ÔÓØØÒØØØк ÆÓÙ× ÚÚÖÖÓÒ× Ù ÓÙÖ× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ ÕÙÙ¸ Ò×
× ×¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÔÔÙØ ×× ÖÖÑÑÒÒÖ ÙÒÒ ØØÐÐÐ
××ÖÖÔØØÓÒº Ò× ÐÐ × ÐÐ ÔÓÖØØØ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ÙÖÖÖØØÓÒ× ×Ø
ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ¸ Ö ÐÐÐ ÔÔÙØ ÔÔÖÑÑØØÖÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ ××
× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ××Ò× ÖÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÒ ÔÓØØÒØØØк
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÓÕÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ð³³×ÔÔÔØ ÑÔÓÖØØÒØ Ø Ð³Ù¹
ÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ ³ÙÒÒ ÔÔÖÓÓ¸ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ×× ÔÔÔÔØØ ÔÓÙÚÓÓÖ ÐÐ×××Ö Ø
ÒÙÑÑÖÖÖ ÐÐ× ÖÖÒØ× ØÝÔÔ× ÑÓÓÓ× ´´´´ÙÖÖÖØØÓÒ× Ø ØØ×ØÖÓÔÔÔ×µ¸ ××Ò×
ÖÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙº ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ³³Ò×××ØØÖ ÔÓÓÒØ ÕÙ³³Ò ××
ÖÖÖÖÖÖÒØ Ø ÐÐ ÒÓØØÓÒ Ð Ò³³ÒØÖÖ ÔÔ× Ò× ÒÓ× ÒØØÒØØÓÒ× ÑÑÒ¹
ÑÑ××Ö Ð³³ÑÔÓÖØØÒÒÒ Ð³³ØÙÙÙ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ׺ Ù ØØØ
ØØØØØ ×Ø ÑÔÔÖÖØØÚÚ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ÕÙÙÒØØØØØØÚ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÑÓÑÑÒØ ÙÕÙÙÐ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÚÚ ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ Ò× ÙÒÒ
ÓÒÒÒÒ¸ ×ÓÓØ ÔÓÙÖ Ð³³ÚÚØØÖ¸ ×ÓÓØ Ò ØØÖÖÖ ÔÖÓÓظ ×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ ÔÓÙÖ ××ѹ
ÔÐÐÑÑÒØ Ð³³ØÙÙÙÙÖ Ø ÐÐ ÖÖÔÔÖØÓÖÖÖÖ Ò ØØÒØ ÕÙÙ ØØÐÐк Ò ÓÙØÖÖ¸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ
³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ÙÒÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ Ø Ð³³ÜÔÔÖÖÖÒÒÒ ÔÔÙØ
ÙÖÖ ½º¿ ÍÒ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÙÒÒ ÕÙÙÒØØØØ Q ØÝÔÔÕÙÙ Ù
×Ý×ØØÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØÙÙÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÄÄ ÐÐÐÒÒ ÖÖ×××
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÖÖÒÒ Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐÒÒ ÓÒØØÒÙÙ ×× ÖÖÖÖÖÖ ÙÒÒ
×ØØØÐк
ÖÖ×××ØØÒØ ÙÒ ÐÐ Ù ÑÓÓÓÐк ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÓÔØØÓÒ× ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÔÔÖØØÖ ³³ÝÔÓØØØ××× ØÙÙÙ× ÔÖÖÓÖÖº
ÄÓÖ×ÕÙ³³Ò ØÙÙÙÙÒØ ÐÐ ÖÓÓÙ×ØØ××× Ù ÑÓÓÓÐÐ Ò ÐÙÙ ÒÒÒÒÒÒÒØ ÙÒ Ø ÑÑÒÒÙÖ¸
ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÐÓÖ×
ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ Ø ×ØÖÙÙØÙÖ Ò×ØØØÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ
ØÖÖ ÖÖØØÒÙ ÓÑÑÑ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÔØØ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑѺ
ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ Ø ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐРݹ
ÒÒÑÑÕÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØк ÈÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒظ Ò ÔÔÔÐÐÐÒØ x(t)
ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù
ØØÑÔ× tµ¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ØØ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ×× ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
dx
dt
= −
dV (x)
dx
´½º¾µ
ÓÓ V (x) ×Ø ÐÐ ÔÓØØÒØØØк ÆÓÙ× ÚÚÖÖÓÒ× Ù ÓÙÖ× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ ÕÙÙ¸ Ò×
× ×¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÔÔÙØ ×× ÖÖÑÑÒÒÖ ÙÒÒ ØØÐÐÐ
××ÖÖÔØØÓÒº Ò× ÐÐ × ÐÐ ÔÓÖØØØ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ÙÖÖÖØØÓÒ× ×Ø
ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ¸ Ö ÐÐÐ ÔÔÙØ ÔÔÖÑÑØØÖÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ ××
× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ××Ò× ÖÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÒ ÔÓØØÒØØØк
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÓÕÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ð³³×ÔÔÔØ ÑÔÓÖØØÒØ Ø Ð³Ù¹
ÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ ³ÙÒÒ ÔÔÖÓÓ¸ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ×× ÔÔÔÔØØ ÔÓÙÚÓÓÖ ÐÐ×××Ö Ø
ÒÙÑÑÖÖÖ ÐÐ× ÖÖÒØ× ØÝÔÔ× ÑÓÓÓ× ´´´´ÙÖÖÖØØÓÒ× Ø ØØ×ØÖÓÔÔÔ×µ¸ ××Ò×
ÖÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙº ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ³³Ò×××ØØÖ ÔÓÓÒØ ÕÙ³³Ò ××
ÖÖÖÖÖÖÒØ Ø ÐÐ ÒÓØØÓÒ Ð Ò³³ÒØÖÖ ÔÔ× Ò× ÒÓ× ÒØØÒØØÓÒ× ÑÑÒ¹
ÑÑ××Ö Ð³³ÑÔÓÖØØÒÒÒ Ð³³ØÙÙÙ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ׺ Ù ØØØ
ØØØØØ ×Ø ÑÔÔÖÖØØÚÚ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ÕÙÙÒØØØØØØÚ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÑÓÑÑÒØ ÙÕÙÙÐ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÚÚ ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ Ò× ÙÒÒ
ÓÒÒÒÒ¸ ×ÓÓØ ÔÓÙÖ Ð³³ÚÚØØÖ¸ ×ÓÓØ Ò ØØÖÖÖ ÔÖÓÓظ ×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ ÔÓÙÖ ××ѹ
ÔÐÐÑÑÒØ Ð³³ØÙÙÙÙÖ Ø ÐÐ ÖÖÔÔÖØÓÖÖÖÖ Ò ØØÒØ ÕÙÙ ØØÐÐк Ò ÓÙØÖÖ¸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ
³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ÙÒÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ Ø Ð³³ÜÔÔÖÖÖÒÒÒ ÔÔÙØ