½½¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º¿ ÈÖÖÖÖ×ÓÒ× ÚÒØØØØ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÚÓÒ× ÔÖÖÖÖ×× Ò× ÐÐ ¸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ¸ Ð ×Ø ØÖÖ× ÑÔÓÖØØÒØ Ò ×ØØÒÒÙÙÖ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ³ÙÒÒ ØÖÖ¹
ØÓÓÖÖ ÖÑÑÑ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×׺ ÈÓÙÖ ÐÐ ÖÖÖÐÐ××Ö ÔÐÐÐÒÒÑÑÒظ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ××ÑÔÐÐ ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
×ÙÙÚÒØØ
¨
x + x + 2x
3
= 0 .
´´ºº¿µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓ××××× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙº Ò Ø¸ ÔÖÖ× ÑÙÐØØÔÐÐÐÐØØÓÒ
Ù ØØÖÑÑ 2 ˙
x Ò× ÕÙÙ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºº¿¸ ÖÖÖÖÖÖÚÓÒ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ
×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
∂ t [ ˙
x
2
+ x
2
+ x
4
] = 0 .
´´ºººµ
ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÖÖ× ÒØØØÖÖØØÓÒ
˙
x
2
+ x
2
+ x
4
= H = ˙
x
2
0 + x
2
0 + x
4
0 ,
´´ºººµ
ÓÓ H ×Ø ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÙ٠г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸
Ø x 0 = x(t = 0)º ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ÔÔÖ ÙÒÒ
ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÖÑÑÑ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ( ˙
x, x) ÕÙÙ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐи
ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ H ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ¸ ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÖÑÑÑ Ò×
ÐÐ ÔÐÐÒ ( ˙
x, x) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ × ÓÖÖÖØØ× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ×ÓÐÐÐ×
ÐÐÐ× ÙÒ ÓÒØØÒÙÙѺ ظ ÐÐ ÓÓÜ ³ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÓÒØØÒÙ
ÚÚÐÐÙÖ× H ÔÖÓÓÙÙØ ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÓÒØØÒÙ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÖÑÑÑ׺ ÍÒ ÝÝÐÐ
ÐÐÑÑØظ Ù ×Ø ÙÒÒ ÓÖÖÖØØ ÖÑÑÑ ÕÙÙ ÒÒ ÔÓ××××× ÔÔ× Ò× ×ÓÒ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
ÑÑÑÑÑÑØ ÙÒÒ ÙØÖÖ ÓÖÖÖØØ ÖÑÑѺ ÍÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐÐ ×Ø ÙÒÒ ÓÖÖÖØØ ×ÓÐÐÐ
ÚÚÖ× ÐÐÕÙÙÐÐÐ ØØÒÒ ØÓÙØØ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ××ÙÙ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ
ÔÖÖ× Ù ÝÝÐÐ ½ º Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÔÖÖ××Òظ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³ÙÒ ××ÙÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ Ø¸
ÔÔÖ ÐÐ ×××Ò ³³ØØÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÓÒ×ØØØÙ٠г³Ò××ÑÑÐÐ × ÔÓÓÒØ× Ù
ÔÐÐÒº
ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ØØÑÔ×
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
ÊÊ×ÓÙÙÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ××٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÑÔÐÐÜÜ ÙÙÙÕÙÙº
ËÓÐÙØØÓÒ ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ ρ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Óѹ
ÔÐÐÜÜ Ù ×Ý×ØØÑÑ º¿¿ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖ×ÓÐÙÙ Ò ×ÙÙÚÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÖÓÓÓÓÙÖÖ ÙØØÐÐ××× Ò× ÐÐ
½ ÁÐ ÙØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ × ××ØÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ׸ ÑÑÑÑ ×× ÙÒ ÝÝÐÐ
ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐÐ ÜÜ×Øظ ÖØØØÒÒ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÒÒ ÔÔ׸ ÖÖÒÒ ØØÑÔ׸ ÚÖ×
ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØغ ÇÒ ÔÔÖÐÐ ÐÓÖ× ×××Ò ³³ØØÖÖÖØØÓÒ¸ ÕÙÙ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙ٠г³Ò××ÑÑÐÐ × ÓÒÒÒ¹
ØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× Ù ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØغ ÄÄ× ÙØÖÖ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׸ ÐÐÐ× ÒÒ ÓÒÚÚÖÖÖÖÒØ
ÔÔ× ÚÚÖ× ÝÝÐи ÒÒ ÔÔ× ÔÔÖØØØ Ù ×××Ò ³³ØØÖÖÖØØÓÒº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º¿ ÈÖÖÖÖ×ÓÒ× ÚÒØØØØ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÚÓÒ× ÔÖÖÖÖ×× Ò× ÐÐ ¸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ¸ Ð ×Ø ØÖÖ× ÑÔÓÖØØÒØ Ò ×ØØÒÒÙÙÖ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ³ÙÒÒ ØÖÖ¹
ØÓÓÖÖ ÖÑÑÑ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×׺ ÈÓÙÖ ÐÐ ÖÖÖÐÐ××Ö ÔÐÐÐÒÒÑÑÒظ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ××ÑÔÐÐ ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
×ÙÙÚÒØØ
¨
x + x + 2x
3
= 0 .
´´ºº¿µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓ××××× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙº Ò Ø¸ ÔÖÖ× ÑÙÐØØÔÐÐÐÐØØÓÒ
Ù ØØÖÑÑ 2 ˙
x Ò× ÕÙÙ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºº¿¸ ÖÖÖÖÖÖÚÓÒ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ
×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
∂ t [ ˙
x
2
+ x
2
+ x
4
] = 0 .
´´ºººµ
ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÖÖ× ÒØØØÖÖØØÓÒ
˙
x
2
+ x
2
+ x
4
= H = ˙
x
2
0 + x
2
0 + x
4
0 ,
´´ºººµ
ÓÓ H ×Ø ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÙ٠г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸
Ø x 0 = x(t = 0)º ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ÔÔÖ ÙÒÒ
ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÖÑÑÑ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ( ˙
x, x) ÕÙÙ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐи
ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ H ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ¸ ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÖÑÑÑ Ò×
ÐÐ ÔÐÐÒ ( ˙
x, x) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ × ÓÖÖÖØØ× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ×ÓÐÐÐ×
ÐÐÐ× ÙÒ ÓÒØØÒÙÙѺ ظ ÐÐ ÓÓÜ ³ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÓÒØØÒÙ
ÚÚÐÐÙÖ× H ÔÖÓÓÙÙØ ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÓÒØØÒÙ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÖÑÑÑ׺ ÍÒ ÝÝÐÐ
ÐÐÑÑØظ Ù ×Ø ÙÒÒ ÓÖÖÖØØ ÖÑÑÑ ÕÙÙ ÒÒ ÔÓ××××× ÔÔ× Ò× ×ÓÒ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
ÑÑÑÑÑÑØ ÙÒÒ ÙØÖÖ ÓÖÖÖØØ ÖÑÑѺ ÍÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐÐ ×Ø ÙÒÒ ÓÖÖÖØØ ×ÓÐÐÐ
ÚÚÖ× ÐÐÕÙÙÐÐÐ ØØÒÒ ØÓÙØØ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ××ÙÙ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ
ÔÖÖ× Ù ÝÝÐÐ ½ º Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÔÖÖ××Òظ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³ÙÒ ××ÙÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ Ø¸
ÔÔÖ ÐÐ ×××Ò ³³ØØÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÓÒ×ØØØÙ٠г³Ò××ÑÑÐÐ × ÔÓÓÒØ× Ù
ÔÐÐÒº
ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ØØÑÔ×
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
ÊÊ×ÓÙÙÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ××٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÑÔÐÐÜÜ ÙÙÙÕÙÙº
ËÓÐÙØØÓÒ ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ ρ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Óѹ
ÔÐÐÜÜ Ù ×Ý×ØØÑÑ º¿¿ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖ×ÓÐÙÙ Ò ×ÙÙÚÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÖÓÓÓÓÙÖÖ ÙØØÐÐ××× Ò× ÐÐ
½ ÁÐ ÙØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ × ××ØÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ׸ ÑÑÑÑ ×× ÙÒ ÝÝÐÐ
ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐÐ ÜÜ×Øظ ÖØØØÒÒ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÒÒ ÔÔ׸ ÖÖÒÒ ØØÑÔ׸ ÚÖ×
ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØغ ÇÒ ÔÔÖÐÐ ÐÓÖ× ×××Ò ³³ØØÖÖÖØØÓÒ¸ ÕÙÙ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙ٠г³Ò××ÑÑÐÐ × ÓÒÒÒ¹
ØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× Ù ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØغ ÄÄ× ÙØÖÖ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׸ ÐÐÐ× ÒÒ ÓÒÚÚÖÖÖÖÒØ
ÔÔ× ÚÚÖ× ÝÝÐи ÒÒ ÔÔ× ÔÔÖØØØ Ù ×××Ò ³³ØØÖÖÖØØÓÒº