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Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
Si le vecteur d’onde est orientés uivant la direction x ,l ev ecteur propagatione st
k = e x et l’onde plane monochromatique est notée
A ( x , t ) = A 0 cos( kx − v t ) .
Si cette onde se propage dans un espace àtroisdimensions,lavaleurdel’amplitude
de l’onde est constantedans tout plan ( yz)perpendiculaire à x .
( a )( b)
x
Figure 3.3 Illustrationsd es fronts d’onde plane (a) et de l’amplitude d’uneonde
se propageantselon l’axe x (b) .
3.2.4 Onde monochromatique sphérique
Quand la propagationadmet une symétrie ponctuelle dans un espace isotrope àtrois
dimensions, l’équationd ’onde admet comme solutions lesc ombinaisons linéaires
des ondes monochromatiques sphériques. La directiond ep ropagatione st donnée
par
k = k r e r , k u = 0 , k w = 0 ,
et l’opérateur laplacien en coordonnées sphériques (voirannexe A) est telque :
D A =
1
r
∂
2
∂ r 2 ( rA) .
L’équationd’onde (3.10) s’écrit donc
1
r
∂
2
∂ r 2 ( rA) −
1
c 2
∂
2
A
∂ t 2 = 0 ,
ou encore
∂
2
∂ r 2 ( rA) −
1
c 2
∂
2
( rA)
∂ t 2 = 0 .