Pour de faiblesfractions volumiques F s = F 1 1, on peut négliger le terme en F
2
1 et
faireundéveloppement limité :
c m ≈ ( r 2 x 2 )
− 1 / 2
1 −
F 1
2
r 1
r 2
+
x 1
x 2
− 2
,
ce qui montre une décroissance linéaire de la vitesse du sonenfonctionde F 1 àpartir
de la vitesse du sonduliquide pur c liquide = ( r 2 x 2 )
− 1 / 2
.
10 Propa g a tion d’ondes ultr a sonores
a . Avec lesdonnées proposées,ontrouve vt ≈ 3 · 10
− 6
.
b. La relationdedispersion est
k =
v
c
(1 + i vt)
− 1 / 2
et en remarquant que vt 1, on peut faireundéveloppement limité pour écrire :
k =
v
c
−
1
2
i
v
2
t
c
.
c. En injectant ce nombre d’onde complexedans l’écriture de l’onde de pression, on
obtient :
p = p 0 e
i v t
e
− ikr x
e
k i x
= 0 e
− x / L
e
i ( v t − k r x )
.
La longueur d’atténuation L estpar identification :
L =
2 c
v 2 t
=
2 r 0 c
3
v 2 h
.
Pour lesfréquences de 1, 10 et 100 MHz, on trouverespectivement deslongueurs
d’atténuationde170 m, 1,7 met1,7 cm.
132 Chap. 5. Ondes dans les fluides :l’acoustique
2
1 et
faireundéveloppement limité :
c m ≈ ( r 2 x 2 )
− 1 / 2
1 −
F 1
2
r 1
r 2
+
x 1
x 2
− 2
,
ce qui montre une décroissance linéaire de la vitesse du sonenfonctionde F 1 àpartir
de la vitesse du sonduliquide pur c liquide = ( r 2 x 2 )
− 1 / 2
.
10 Propa g a tion d’ondes ultr a sonores
a . Avec lesdonnées proposées,ontrouve vt ≈ 3 · 10
− 6
.
b. La relationdedispersion est
k =
v
c
(1 + i vt)
− 1 / 2
et en remarquant que vt 1, on peut faireundéveloppement limité pour écrire :
k =
v
c
−
1
2
i
v
2
t
c
.
c. En injectant ce nombre d’onde complexedans l’écriture de l’onde de pression, on
obtient :
p = p 0 e
i v t
e
− ikr x
e
k i x
= 0 e
− x / L
e
i ( v t − k r x )
.
La longueur d’atténuation L estpar identification :
L =
2 c
v 2 t
=
2 r 0 c
3
v 2 h
.
Pour lesfréquences de 1, 10 et 100 MHz, on trouverespectivement deslongueurs
d’atténuationde170 m, 1,7 met1,7 cm.
132 Chap. 5. Ondes dans les fluides :l’acoustique