5.9V érification des hypothèses 125
5.9 VÉRIFICATION DES HYPOTHÈSES
Rappelons que l’obtentiond el ’équationd ’onde (5.12) aé té possibleg râce àd es
hypothèses de faiblesfluctuations de pression, vitesse et masse volumique.
On peut calculer que l’intensité minimalec orrespond àu ne fluctuationdep ression
c p 1 =
2 r 0 cI 0 ≈ 30 m Pa,u ne valeur trèsf aibled evant la pression atmosphérique ( p 0 = 10
5
Pa). L’intensité maximale admisep ar l’oreille est de 130 dB,s oit
10 W · m
− 2
.Cette intensité correspond àune fluctuationdepression p 1 ≈ 94 Pa.On
peut donc dans ce domaine vérifier l’hypothèse c p 1 p 0 utilisée pour linéariser les
équations.
L’ordred eg randeur des fluctuations de masse volumique est obtenu directement
par la relationthermodynamique linéarisée (5.8).Les deux valeurslimitescalculées
pour lesl imitesd el ’audition sont données dans le tableau 5.1 et montrentq ue la
fluctuation cr 1 est bien négligeable devant la masse volumique de l’air au repos.
La vitesse de déplacement de l’air au passage d’une onde sonoreest estimée àpartir de l’équationd ec onservationd el aq uantité de mouvementl inéarisée (5.7). En
choisissant une fluctuationdepression de la forme p 1 = P 0 cos( kx − v t ), on a
∂ v 1
∂ t
=
kP 0
r 0
sin(kx − v t ) ,
et après intégrationpar rapportautemps, on trouve
| v 1 | =
P 0
r 0 c a
=
2 I
r 0 c a
.
Lesvaleurs de la fluctuation de vitesse correspondant auxlimitesdel’audition sont
données dans le tableau 5.1 mais sont difficilement comparablesàla valeur de référence de la vitesse du fluide au repos qui vaut zéro!Toutefois, il existe une référence
de vitesse :lavitesse de propagationduson c .L ’hypothèse de faible fluctuationde
vitesse peut donc être maintenant établie comme v 1 c ,e tl es valeursc alculées
montrent que cette hypothèse est bien vérifiéedansledomaineauditif.
Cette hypothèse sur la vitesse du fluide est souvent exprimée sous la formed ’un
nombresans dimension, le nombredeMach.
Définition
Le nombredeMa ch estlerapportentre la vitesse de l’écoulement v et la vitesse
des ondes de compression dans le fluide c :
M =
v
c
.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
5.9 VÉRIFICATION DES HYPOTHÈSES
Rappelons que l’obtentiond el ’équationd ’onde (5.12) aé té possibleg râce àd es
hypothèses de faiblesfluctuations de pression, vitesse et masse volumique.
On peut calculer que l’intensité minimalec orrespond àu ne fluctuationdep ression
c p 1 =
2 r 0 cI 0 ≈ 30 m Pa,u ne valeur trèsf aibled evant la pression atmosphérique ( p 0 = 10
5
Pa). L’intensité maximale admisep ar l’oreille est de 130 dB,s oit
10 W · m
− 2
.Cette intensité correspond àune fluctuationdepression p 1 ≈ 94 Pa.On
peut donc dans ce domaine vérifier l’hypothèse c p 1 p 0 utilisée pour linéariser les
équations.
L’ordred eg randeur des fluctuations de masse volumique est obtenu directement
par la relationthermodynamique linéarisée (5.8).Les deux valeurslimitescalculées
pour lesl imitesd el ’audition sont données dans le tableau 5.1 et montrentq ue la
fluctuation cr 1 est bien négligeable devant la masse volumique de l’air au repos.
La vitesse de déplacement de l’air au passage d’une onde sonoreest estimée àpartir de l’équationd ec onservationd el aq uantité de mouvementl inéarisée (5.7). En
choisissant une fluctuationdepression de la forme p 1 = P 0 cos( kx − v t ), on a
∂ v 1
∂ t
=
kP 0
r 0
sin(kx − v t ) ,
et après intégrationpar rapportautemps, on trouve
| v 1 | =
P 0
r 0 c a
=
2 I
r 0 c a
.
Lesvaleurs de la fluctuation de vitesse correspondant auxlimitesdel’audition sont
données dans le tableau 5.1 mais sont difficilement comparablesàla valeur de référence de la vitesse du fluide au repos qui vaut zéro!Toutefois, il existe une référence
de vitesse :lavitesse de propagationduson c .L ’hypothèse de faible fluctuationde
vitesse peut donc être maintenant établie comme v 1 c ,e tl es valeursc alculées
montrent que cette hypothèse est bien vérifiéedansledomaineauditif.
Cette hypothèse sur la vitesse du fluide est souvent exprimée sous la formed ’un
nombresans dimension, le nombredeMach.
Définition
Le nombredeMa ch estlerapportentre la vitesse de l’écoulement v et la vitesse
des ondes de compression dans le fluide c :
M =
v
c
.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit