9 Vibration d’uneplaque mince
C’estu np roblème analogue au problème de la membranev ibranter ectangulaire. Le
choixdelasolution monochromatique donneune équation pour l’amplitude Z ( x , y )de
la forme
EL
2
z
12r (1 − n 2 )
D
2
Z − v
2
Z = 0 .
En choisissant, comme pour la membrane, une décomposition de la fonction Z comme
une somme de termes
Z ( x , y ) =
m , n
Z mn sin
m p x
L x
n p y
L y
,
l’opérateur D
2
est:
D
2
=
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2
2
m p
L x
2
+
n p
L y
2
2
,
ce qui donne des pulsations propres :
v mn = p
2
EL 2
z
12r (1 − n 2 )
m
L x
2
+
n
L y
2
.
112 Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques