104 Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
avec a =
v / c c r g .I lf aut maintenant déterminer lesconstantes B 1 ...B 4 avec les
conditions aux limitessuivantes :
A = 0e n x = 0 ,
dA/ dx = 0e n x = 0 ,
d
2
A / dx
2
= 0e n x = L ,
d
3
A / dx
3
= 0e n x = L ,
ce qui donne B 1 = − B 3 et B 2 = − B 4 et
cosh a L +cos a L sinh a L +sin a L
sinh a L − sin a L cosh a L +cos a L
B 1
B 2
= 0 .
Ce système admet des solutions si le déterminant de la matriceest nul,c’est-à-dire si
c ( a L ) = cosh a L . cos a L +1= 0 .
(4.38)
Il n’yapas de solutionanalytique àl’équation c = 0, on cherche donc des solutions
numériquement ou par méthode graphique. La fonction c est tracée sur la figure4.13.
Le premier zérodelafonctionest telque a 0 = 1 , 2 p / 2 L ,cequi donne une fréquence
fondamentaledevibration
v 0 =
1 , 44p
2
4 L 2
EI
r S
π
2 π
3 π
4 π
5 π
6 π
0
0
− 1
1
cos(αL)
− 1
cosh(αL)
Figure4.13 Tracé desf onctions c ( a L ) = cosh a L . cos a L +1.
avec a =
v / c c r g .I lf aut maintenant déterminer lesconstantes B 1 ...B 4 avec les
conditions aux limitessuivantes :
A = 0e n x = 0 ,
dA/ dx = 0e n x = 0 ,
d
2
A / dx
2
= 0e n x = L ,
d
3
A / dx
3
= 0e n x = L ,
ce qui donne B 1 = − B 3 et B 2 = − B 4 et
cosh a L +cos a L sinh a L +sin a L
sinh a L − sin a L cosh a L +cos a L
B 1
B 2
= 0 .
Ce système admet des solutions si le déterminant de la matriceest nul,c’est-à-dire si
c ( a L ) = cosh a L . cos a L +1= 0 .
(4.38)
Il n’yapas de solutionanalytique àl’équation c = 0, on cherche donc des solutions
numériquement ou par méthode graphique. La fonction c est tracée sur la figure4.13.
Le premier zérodelafonctionest telque a 0 = 1 , 2 p / 2 L ,cequi donne une fréquence
fondamentaledevibration
v 0 =
1 , 44p
2
4 L 2
EI
r S
π
2 π
3 π
4 π
5 π
6 π
0
0
− 1
1
cos(αL)
− 1
cosh(αL)
Figure4.13 Tracé desf onctions c ( a L ) = cosh a L . cos a L +1.