T 0 =
= 2π
1
.
3 • v E = R
=
2 =
4 • A.N. :
2 = 3,45. 10 –3 .
5 • F
➞ = – G
u
➞
r = mg
➞
. g =
et g 0 =
.
Donc g = g 0
à la distance r = R 1 .
6 • La période du satellite sur l’orbite C 1 doit être T 1 .
mw 2
1 R 1 = mg = mg 0
.
R 1
3
= g 0
= g 0
T 1
2
.
R 1 = 4,24.10 7 m.
x =
= 6,62.
7 • m =
v 2
1 =
De même v 2
0 =
.
On en déduit :
v 1 =
.
8 • Sur l’orbite C 1 , l’énergie du satellite est :
E 1 = mv 2
1 –
= – mv 2
1 .
Sur la Terre : E = mv 2
E –
= mv 2
E – mv 2
0 .
Le travail W à fournir pour passer à C 1 est :
W = E 1 – E = – mv 2
E – mv 2
1 + mv 2
0 ≈ + mv 2
0 2 –
W = K 0 2 – .
9 • Lorsque le satellite est sur Terre, son énergie est :
E = mv 2
E –
.
W 1 = E 0 – E ≈ – mv 2
0 +
= + mv 2
0 .
W 1 = K 0 .
1
2
GmM
R
1
2
GmM
R
1
2
1
x
1
x
1
2
1
2
1
2
1
2
GmM
R
1
2
1
2
GmM
R 1
1
2
v 0
1x
GM
R
GM
R 1
GmM
R 1
2
v 1
2
R 1
R 1
R
R 2
4π 2
R 2
w 1
2
R 2
R 1
2
R 2
R 1
2
GM
R 2
GM
r 2
mM
r
2
v E
v 0
R
g 0
4π 2
T 1
2
v E
v 0
T 0
T 1
v E
v 0
2π
T 1
R
g 0
2πR
6g 0 R
10 • Le transfert se fait sur une ellipse de demi-grand axe
.
E ellipse = –
= mv 0 2 –
.
v 0 2 = 2GM
=
v 0 2 = v 2
0
v 0 = v 0 4
.
11 • W 2 = E ellipse – E 0
W 2 = –
+
= GmM
.
W 2 = K 0
.
12 • Au point A, on a :
E ellipse = –
+ mv 1
2
= –
.
v 1 = v 0 5
.
13 • W 3 = E 1 – E ellipse = –
+
W 3 = K 0
.
W 1 + W 2 + W 3 = K 0 1 + +
= K 0
= K 0 2 – .
W 1 + W 2 + W 3 = W.
14 • La troisième loi de Kepler donne :
T 2
ellipse =
3 et T 2
1 =
R 3
1 .
T ellipse = T 1
3/2
t =
=
3/2 .
Trajectoire d’une comète
1 • L’énergie de la comète est :
• au point le plus proche du Soleil :
(1)
=−
1
2
1
2
mm
GM
kR
v
S
T
;
6
1 + x
x
T 1
2 5/2
T ellipse
2
R + R 1
2R 1
4π 2
GM
R + R 1
2
4π 2
GM
1
x
2x 2 + x – 1
x(1 + x)
x – 1
x(1 + x)
x – 1
x + 1
x – 1
x(1 + x)
GmM
R + R 1
GmM
2R 1
2
x(1 + x)
GmM
R + R 1
1
2
GmM
R 1
x – 1
x + 1
R 1 – R
2R(R + R 1 )
GmM
2R
GmM
R + R 1
2x
1 + x
2x
1 + x
x
1 + x
2GM
R
R 1
R(R + R 1 )
GmM
R
1
2
GmM
R+R 1
R+ R 1
2
CORRIGÉS
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
79
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
= 2π
1
.
3 • v E = R
=
2 =
4 • A.N. :
2 = 3,45. 10 –3 .
5 • F
➞ = – G
u
➞
r = mg
➞
. g =
et g 0 =
.
Donc g = g 0
à la distance r = R 1 .
6 • La période du satellite sur l’orbite C 1 doit être T 1 .
mw 2
1 R 1 = mg = mg 0
.
R 1
3
= g 0
= g 0
T 1
2
.
R 1 = 4,24.10 7 m.
x =
= 6,62.
7 • m =
v 2
1 =
De même v 2
0 =
.
On en déduit :
v 1 =
.
8 • Sur l’orbite C 1 , l’énergie du satellite est :
E 1 = mv 2
1 –
= – mv 2
1 .
Sur la Terre : E = mv 2
E –
= mv 2
E – mv 2
0 .
Le travail W à fournir pour passer à C 1 est :
W = E 1 – E = – mv 2
E – mv 2
1 + mv 2
0 ≈ + mv 2
0 2 –
W = K 0 2 – .
9 • Lorsque le satellite est sur Terre, son énergie est :
E = mv 2
E –
.
W 1 = E 0 – E ≈ – mv 2
0 +
= + mv 2
0 .
W 1 = K 0 .
1
2
GmM
R
1
2
GmM
R
1
2
1
x
1
x
1
2
1
2
1
2
1
2
GmM
R
1
2
1
2
GmM
R 1
1
2
v 0
1x
GM
R
GM
R 1
GmM
R 1
2
v 1
2
R 1
R 1
R
R 2
4π 2
R 2
w 1
2
R 2
R 1
2
R 2
R 1
2
GM
R 2
GM
r 2
mM
r
2
v E
v 0
R
g 0
4π 2
T 1
2
v E
v 0
T 0
T 1
v E
v 0
2π
T 1
R
g 0
2πR
6g 0 R
10 • Le transfert se fait sur une ellipse de demi-grand axe
.
E ellipse = –
= mv 0 2 –
.
v 0 2 = 2GM
=
v 0 2 = v 2
0
v 0 = v 0 4
.
11 • W 2 = E ellipse – E 0
W 2 = –
+
= GmM
.
W 2 = K 0
.
12 • Au point A, on a :
E ellipse = –
+ mv 1
2
= –
.
v 1 = v 0 5
.
13 • W 3 = E 1 – E ellipse = –
+
W 3 = K 0
.
W 1 + W 2 + W 3 = K 0 1 + +
= K 0
= K 0 2 – .
W 1 + W 2 + W 3 = W.
14 • La troisième loi de Kepler donne :
T 2
ellipse =
3 et T 2
1 =
R 3
1 .
T ellipse = T 1
3/2
t =
=
3/2 .
Trajectoire d’une comète
1 • L’énergie de la comète est :
• au point le plus proche du Soleil :
(1)
=−
1
2
1
2
mm
GM
kR
v
S
T
;
6
1 + x
x
T 1
2 5/2
T ellipse
2
R + R 1
2R 1
4π 2
GM
R + R 1
2
4π 2
GM
1
x
2x 2 + x – 1
x(1 + x)
x – 1
x(1 + x)
x – 1
x + 1
x – 1
x(1 + x)
GmM
R + R 1
GmM
2R 1
2
x(1 + x)
GmM
R + R 1
1
2
GmM
R 1
x – 1
x + 1
R 1 – R
2R(R + R 1 )
GmM
2R
GmM
R + R 1
2x
1 + x
2x
1 + x
x
1 + x
2GM
R
R 1
R(R + R 1 )
GmM
R
1
2
GmM
R+R 1
R+ R 1
2
CORRIGÉS
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
79
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.