Cyclotron
1 • Les protons décrivent, à l’intérieur des dees, des demicercles à la fréquence
. Pour que les protons
soient effectivement accélérés à chaque passage dans l’espace entre les dees, il faut que la fréquence du champ électrique
soit accordée sur celle du champ magnétique. On obtient :
n c =23,9 MHz.
2 • Le rayon de la trajectoire du proton est
Quand le proton décrit le n
ième
demi-cercle, il a été accéléré n
fois, or à chaque demi-tour son énergie cinétique augmente
de eU c , au bout de n demi-cercles, elle est donc égale à
neU c . La vitesse du proton sur ce demi-cercle est alors :
On en déduit :
Pour n = 400 , on obtient r 400 = 42,2 cm.
3 • Le travail de la force électrique à la traversée de
l’espace accélérateur est W = eEdx avec :
et d x = v d t = w r d t .
E
U
g
t
=+
c
sin(
)
ωφ 0
g
g
2
2
–
r
nm U
eB
n =
2
0
2
pc .
v n
enU
m
=
2
c
p
.
r
m
eB
=
p v
0
.
ν c
p
=
eB
m
0
2π
6
y v O
r O
r 2
x
y
b > 1
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
501
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Étudions
= –
+
= b 2 – :
en x = 1:
= 2(b 2 – 1) , du signe de b – 1 .
= 0 pour x = et U = b 2 – 1 – 2b 2 ln b
Les documents suivants montrent U(x) 0 pour :
si b 1 x 0 = 1 x x 1 avec x 1 1
b 1 x 2 x x 0 = 1 avec x 2 1
Sachant que
.
r 2 + v 0
2 U(r) = 0 , les mouvements possibles sont
obtenus pour U(r) 0 , et donc suivant les valeurs de b :
b 1: r 0 r r 1 = x 1 r 0
b 1: r 2 = x 2 r 0 r r 0
Le mouvement est donc en permanence limité dans l’espace
et aura l’allure suivante :
x
O
U (x)
dU
dx
b > 1
x 2 < 1
> O
x O = 1
1/b
x
O
U (x)
b < 1
x 1 > 1
x O = 1
1/b
1
b
1
b
dU
dx
dU
dx
1
x 2
2
x
2b 2
x
2
x 3
dU
dx
1 • Les protons décrivent, à l’intérieur des dees, des demicercles à la fréquence
. Pour que les protons
soient effectivement accélérés à chaque passage dans l’espace entre les dees, il faut que la fréquence du champ électrique
soit accordée sur celle du champ magnétique. On obtient :
n c =23,9 MHz.
2 • Le rayon de la trajectoire du proton est
Quand le proton décrit le n
ième
demi-cercle, il a été accéléré n
fois, or à chaque demi-tour son énergie cinétique augmente
de eU c , au bout de n demi-cercles, elle est donc égale à
neU c . La vitesse du proton sur ce demi-cercle est alors :
On en déduit :
Pour n = 400 , on obtient r 400 = 42,2 cm.
3 • Le travail de la force électrique à la traversée de
l’espace accélérateur est W = eEdx avec :
et d x = v d t = w r d t .
E
U
g
t
=+
c
sin(
)
ωφ 0
g
g
2
2
–
r
nm U
eB
n =
2
0
2
pc .
v n
enU
m
=
2
c
p
.
r
m
eB
=
p v
0
.
ν c
p
=
eB
m
0
2π
6
y v O
r O
r 2
x
y
b > 1
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
501
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Étudions
= –
+
= b 2 – :
en x = 1:
= 2(b 2 – 1) , du signe de b – 1 .
= 0 pour x = et U = b 2 – 1 – 2b 2 ln b
Les documents suivants montrent U(x) 0 pour :
si b 1 x 0 = 1 x x 1 avec x 1 1
b 1 x 2 x x 0 = 1 avec x 2 1
Sachant que
.
r 2 + v 0
2 U(r) = 0 , les mouvements possibles sont
obtenus pour U(r) 0 , et donc suivant les valeurs de b :
b 1: r 0 r r 1 = x 1 r 0
b 1: r 2 = x 2 r 0 r r 0
Le mouvement est donc en permanence limité dans l’espace
et aura l’allure suivante :
x
O
U (x)
dU
dx
b > 1
x 2 < 1
> O
x O = 1
1/b
x
O
U (x)
b < 1
x 1 > 1
x O = 1
1/b
1
b
1
b
dU
dx
dU
dx
1
x 2
2
x
2b 2
x
2
x 3
dU
dx