La variation d’énergie interne massique est égale à:
u D – u C = 6,31 . 10 2 – 1,95 . 10 3 = – 1,32 . 10 3 kJ . kg –1 .
L’application du premier principe donne :
w CD = u D – u C – q CD = – 1,32 . 10 3 + 1,39 . 10 3
= –0,70 . 10 3 kJ . kg –1 .
Transformation DA
La transformation est adiabatique, donc :
q DA = 0kJ.kg –1 .
La variation d’énergie interne massique est égale à:
u A – u D = 7,60 . 10 2 – 6,31 . 10 2 = – 0,13 . 10 3 kJ . kg –1 .
L’application du premier principe donne :
w DA = u A – u D = – 0,13 . 10 3 kJ . kg –1 .
On regroupe les divers résultats dans le tableau ci-dessus.
(Ces diverses grandeurs sont à multiplier par M , la masse de
fluide utilisé.)
Remarque : On vérifie divers résultats attendus :
Au cours d’un cycle : ∆u = 0 (donc w total + q total = 0);
∆ h=0; ∆s = 0 .
4 • Le rendement de ce cycle est égal au travail récupéré sur
l’énergie dépensée, ce qui donne :
η
η =
, soit η
η =
=
= 0,30 .
Examinons un cycle de Carnot fonctionnant réversiblement
entre les deux mêmes sources de chaleur à température T A et
T C (T A T C ) . Ce cycle est constitué aussi de deux isothermes (AB et CD) et de deux isentropiques (BC et DA) .
La variation d’énergie interne du fluide sur le cycle est nulle,
soit :
W + Q AB + Q CD = 0 .
La variation d’entropie du fluide étant nulle au cours du
même cycle, soit :
∆S = 0 = échange + créée ;
l’entropie d’échange avec les sources de chaleur idéales
donne :
échange =
+
;
la transformation subie par le fluide étant réversible :
créée = 0, ainsi :
+
= 0 .
Le rendement est défini par :
η
η =
=
= 1 +
= 1 –
= 1 –
= 0,31 .
Les rendements sont équivalents, car on est en présence d’un
cycle de Carnot. L’écart (0,31 – 0,30 = 0,01) s’explique par
la précision des diverses données numériques.
313
453
T C
T A
Q CD
Q AB
Q AB + Q CD
Q AB
– W
Q AB
Q CD
T C
Q AB
T A
Q CD
T C
Q AB
T A
0,60
1,99
– w total
Q AB
– w total
q AB
Étude thermodynamique
d’un complexe piscine-patinoire
A • Par définition des chaleurs massiques, C i = m i c i :
B • 1 a. La pompe à chaleur fonctionne entre les deux sources de températures T 1 (t) et T 2 (t); le fonctionnement étant
réversible, l’application du deuxième principe au système
fluide qui circule dans la pompe conduit, pour un cycle, à
l’égalité de Clausius :
Or, chaque transfert thermique se déroule à pression extérieure constante, soit pour l’eau de la piscine :
dH piscine = – δQ 1 , et d’autre part, dH piscine = C 1 dT 1 ,
et pour l’eau de la patinoire :
dH patinoire = – δQ 2 et dH patinoire = C 2 dT 2 .
Ces deux relations donnent l’équation différentielle suivante :
C 1
+ C 2
= 0 .
b. L’intégration conduit à:
C 1 ln
+ C 2 ln
= 0 ,
en tenant compte des conditions initiales.
c. Lorsque T 2 = T 0 et T 1 = T 3 , en remplaçant dans la relation précédente, on obtient :
T 3 = T i
.
L’application numérique donne T 3 = 280,87 K .
Le fluide a reçu de la part du milieu extérieur un travail :
W 1 =–[Q 1 + Q 2 ] puisque pour chaque cycle :
dU = δW + δQ 1 + δQ 2 et dU = 0 .
Or, δQ i = – C i dT i soit, Q 1 = – C 1 (T 3 – T i ) et
Q 2 = – C 2 (T 0 – T i ); en définitive :
W 1 = C 1 (T 3 – T i ) + C 2 (T 0 – T i ) .
L’application numérique conduit à W 1 = 115 MJ .
2 • On reprend l’égalité de Clausius :
= 0 ,
à partir de l’instant t 0 où T 2 = T 0 et T 1 = T 3 .
Alors δQ 1 = – C 1 dT 1 mais δQ 2 = dm 2 L , puisque le changement d’état se fait à pression constante et en considérant
qu’à chaque cycle une masse dm 2 d’eau liquide se transforme
en solide. Soit :
6
CORRIGÉS
Machines thermiques
6
294
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
8,360 . 10 9 J . K –1
1,045. 10 9 J . K –1
0,523 . 10 9 J . K –1
C 1
C 2
C’ 2
u D – u C = 6,31 . 10 2 – 1,95 . 10 3 = – 1,32 . 10 3 kJ . kg –1 .
L’application du premier principe donne :
w CD = u D – u C – q CD = – 1,32 . 10 3 + 1,39 . 10 3
= –0,70 . 10 3 kJ . kg –1 .
Transformation DA
La transformation est adiabatique, donc :
q DA = 0kJ.kg –1 .
La variation d’énergie interne massique est égale à:
u A – u D = 7,60 . 10 2 – 6,31 . 10 2 = – 0,13 . 10 3 kJ . kg –1 .
L’application du premier principe donne :
w DA = u A – u D = – 0,13 . 10 3 kJ . kg –1 .
On regroupe les divers résultats dans le tableau ci-dessus.
(Ces diverses grandeurs sont à multiplier par M , la masse de
fluide utilisé.)
Remarque : On vérifie divers résultats attendus :
Au cours d’un cycle : ∆u = 0 (donc w total + q total = 0);
∆ h=0; ∆s = 0 .
4 • Le rendement de ce cycle est égal au travail récupéré sur
l’énergie dépensée, ce qui donne :
η
η =
, soit η
η =
=
= 0,30 .
Examinons un cycle de Carnot fonctionnant réversiblement
entre les deux mêmes sources de chaleur à température T A et
T C (T A T C ) . Ce cycle est constitué aussi de deux isothermes (AB et CD) et de deux isentropiques (BC et DA) .
La variation d’énergie interne du fluide sur le cycle est nulle,
soit :
W + Q AB + Q CD = 0 .
La variation d’entropie du fluide étant nulle au cours du
même cycle, soit :
∆S = 0 = échange + créée ;
l’entropie d’échange avec les sources de chaleur idéales
donne :
échange =
+
;
la transformation subie par le fluide étant réversible :
créée = 0, ainsi :
+
= 0 .
Le rendement est défini par :
η
η =
=
= 1 +
= 1 –
= 1 –
= 0,31 .
Les rendements sont équivalents, car on est en présence d’un
cycle de Carnot. L’écart (0,31 – 0,30 = 0,01) s’explique par
la précision des diverses données numériques.
313
453
T C
T A
Q CD
Q AB
Q AB + Q CD
Q AB
– W
Q AB
Q CD
T C
Q AB
T A
Q CD
T C
Q AB
T A
0,60
1,99
– w total
Q AB
– w total
q AB
Étude thermodynamique
d’un complexe piscine-patinoire
A • Par définition des chaleurs massiques, C i = m i c i :
B • 1 a. La pompe à chaleur fonctionne entre les deux sources de températures T 1 (t) et T 2 (t); le fonctionnement étant
réversible, l’application du deuxième principe au système
fluide qui circule dans la pompe conduit, pour un cycle, à
l’égalité de Clausius :
Or, chaque transfert thermique se déroule à pression extérieure constante, soit pour l’eau de la piscine :
dH piscine = – δQ 1 , et d’autre part, dH piscine = C 1 dT 1 ,
et pour l’eau de la patinoire :
dH patinoire = – δQ 2 et dH patinoire = C 2 dT 2 .
Ces deux relations donnent l’équation différentielle suivante :
C 1
+ C 2
= 0 .
b. L’intégration conduit à:
C 1 ln
+ C 2 ln
= 0 ,
en tenant compte des conditions initiales.
c. Lorsque T 2 = T 0 et T 1 = T 3 , en remplaçant dans la relation précédente, on obtient :
T 3 = T i
.
L’application numérique donne T 3 = 280,87 K .
Le fluide a reçu de la part du milieu extérieur un travail :
W 1 =–[Q 1 + Q 2 ] puisque pour chaque cycle :
dU = δW + δQ 1 + δQ 2 et dU = 0 .
Or, δQ i = – C i dT i soit, Q 1 = – C 1 (T 3 – T i ) et
Q 2 = – C 2 (T 0 – T i ); en définitive :
W 1 = C 1 (T 3 – T i ) + C 2 (T 0 – T i ) .
L’application numérique conduit à W 1 = 115 MJ .
2 • On reprend l’égalité de Clausius :
= 0 ,
à partir de l’instant t 0 où T 2 = T 0 et T 1 = T 3 .
Alors δQ 1 = – C 1 dT 1 mais δQ 2 = dm 2 L , puisque le changement d’état se fait à pression constante et en considérant
qu’à chaque cycle une masse dm 2 d’eau liquide se transforme
en solide. Soit :
6
CORRIGÉS
Machines thermiques
6
294
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
8,360 . 10 9 J . K –1
1,045. 10 9 J . K –1
0,523 . 10 9 J . K –1
C 1
C 2
C’ 2