On en déduit le rendement en fonction de a et b :
ρ = 1 –
.
À b fixé, r est une fonction croissante de a qui tend
vers 1 pour les grandes valeurs de a . Le rendement augmente avec le taux de compression a .
3 • ρ = 0,60 ; T B = T A 20 0,4 = 994 K;
T C = 2,98.10 3 K; T D = 1,40.10 3 K .
À la température T B , le carburant s’enflamme spontanément. Si celui-ci était présent dès le début de la compression, il s’enflammerait avant d’atteindre le point B .
Ce procédé permet d’utiliser des valeurs élevées du taux
de compression a et donc d’augmenter le rendement théorique.
Dans un moteur à essence, le carburant est présent dès
l’admission, ce qui limite le taux de compression et donc
le rendement.
n =
est la quantité d’air contenue.
Q 1 =
(T C – T B ) = 4,63 kJ .
Pour un cycle : W = ρ Q 1 = 2,8 kJ
La durée d’un cycle est T = 1/3600 mn = 1/60 s .
La puissance est donc : =
= 1,7. 10 2 kW .
Pour un cycle réel, la puissance fournie par le moteur est
environ deux fois plus faible.
Réfrigérateur à absorption
On peut résumer les échanges thermiques que
subit le fluide parcourant le réfrigérateur par un schéma :
• Le bouilleur fournit un transfert thermique Q 0 (Q 0 0) au
système fluide de la machine : c’est le « prix » énergétique du
fonctionnement.
• En s’évaporant, le fluide reçoit le transfert thermique Q 2
(Q 2 0) de la part de la source froide, l’évaporateur, c’està-dire de l’intérieur du réfrigérateur : il s’agit donc du gain
énergétique de la machine.
• Dans le condenseur, le fluide cède une énergie thermique ;
le fluide reçoit donc le transfert thermique Q 1 négatif de la
machine
condenseur
T 1
bouilleur
T 0
évaporateur
T 2
Q 0 > 0
Q 2 > 0
Q 1 < 0
3
W
T
γ
γ – 1
P atm V A
T A
P atm V A
RT A
1
a γ –1
(b γ – 1)
γ (b – 1)
part du condenseur ; celui-ci est perdu dans le milieu
ambiant : il ne faut pas le prendre en compte dans l’évaluation
de l’efficacité.
L’efficacité de ce réfrigérateur est donc e =
.
Sur un cycle, le bilan énergétique appliqué au fluide parcourant les différents organes de la machine s’écrit :
∆U = 0 = Q 0 + Q 1 + Q 2 .
(1)
Le bilan entropique sur le même système est :
∆S = 0 =
+ créée ,
soit :
0 .
L’efficacité maximale sera obtenue pour une machine fonctionnant réversiblement, soit pour créée = 0o u:
= 0 .
(2)
En regroupant (1) et (2), on obtient :
e =
.
Remarque : On peut aussi dissocier la machine tritherme en
un moteur ditherme fonctionnant entre T 0 et T 1 dont le travail alimente une machine frigorifique fonctionnant entre T 1
et T 2 .
Le rendement du moteur est 1–
et l’efficacité de la
machine
.
L’efficacité de la machine ainsi modélisée est :
e =
,
ce qui correspond au résultat ci-dessus.
Température maximale
d’un système isolé
L’ensemble sources + machine est isolé :
∆U total = 0 = ∆U machine + ∆U sources .
La machine n’effectue pas de cycles au sens strict, car la température des sources évolue lentement.
Toutefois, si on néglige la capacité thermique de la machine
devant celle des sources, on peut négliger ∆U machine pour un
nombre entier de pseudo-cycles.
Il reste :
∆U sources =0=C(T 1 – T 10 ) + C (T 2 – T 20 ) + C (T 3 – T 30 ).
D’où :
T 1 + T 2 + T 3 = T 10 + T 20 + T 30 .
De plus :
∆S sources + ∆S machine 0.
Soit, pour un nombre entier de cycles :
∆S sources 0.
Cln
+ C ln
+ C ln
0.
Dans le cas limite de la réversibilité, on a alors :
T 1 T 2 T 3 = T 10 T 20 T 30 .
T 3
T 30
T 2
T 20
T 1
T 10
4
CORRIGÉS
Machines thermiques
6
292
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
ρ = 1 –
.
À b fixé, r est une fonction croissante de a qui tend
vers 1 pour les grandes valeurs de a . Le rendement augmente avec le taux de compression a .
3 • ρ = 0,60 ; T B = T A 20 0,4 = 994 K;
T C = 2,98.10 3 K; T D = 1,40.10 3 K .
À la température T B , le carburant s’enflamme spontanément. Si celui-ci était présent dès le début de la compression, il s’enflammerait avant d’atteindre le point B .
Ce procédé permet d’utiliser des valeurs élevées du taux
de compression a et donc d’augmenter le rendement théorique.
Dans un moteur à essence, le carburant est présent dès
l’admission, ce qui limite le taux de compression et donc
le rendement.
n =
est la quantité d’air contenue.
Q 1 =
(T C – T B ) = 4,63 kJ .
Pour un cycle : W = ρ Q 1 = 2,8 kJ
La durée d’un cycle est T = 1/3600 mn = 1/60 s .
La puissance est donc : =
= 1,7. 10 2 kW .
Pour un cycle réel, la puissance fournie par le moteur est
environ deux fois plus faible.
Réfrigérateur à absorption
On peut résumer les échanges thermiques que
subit le fluide parcourant le réfrigérateur par un schéma :
• Le bouilleur fournit un transfert thermique Q 0 (Q 0 0) au
système fluide de la machine : c’est le « prix » énergétique du
fonctionnement.
• En s’évaporant, le fluide reçoit le transfert thermique Q 2
(Q 2 0) de la part de la source froide, l’évaporateur, c’està-dire de l’intérieur du réfrigérateur : il s’agit donc du gain
énergétique de la machine.
• Dans le condenseur, le fluide cède une énergie thermique ;
le fluide reçoit donc le transfert thermique Q 1 négatif de la
machine
condenseur
T 1
bouilleur
T 0
évaporateur
T 2
Q 0 > 0
Q 2 > 0
Q 1 < 0
3
W
T
γ
γ – 1
P atm V A
T A
P atm V A
RT A
1
a γ –1
(b γ – 1)
γ (b – 1)
part du condenseur ; celui-ci est perdu dans le milieu
ambiant : il ne faut pas le prendre en compte dans l’évaluation
de l’efficacité.
L’efficacité de ce réfrigérateur est donc e =
.
Sur un cycle, le bilan énergétique appliqué au fluide parcourant les différents organes de la machine s’écrit :
∆U = 0 = Q 0 + Q 1 + Q 2 .
(1)
Le bilan entropique sur le même système est :
∆S = 0 =
+ créée ,
soit :
0 .
L’efficacité maximale sera obtenue pour une machine fonctionnant réversiblement, soit pour créée = 0o u:
= 0 .
(2)
En regroupant (1) et (2), on obtient :
e =
.
Remarque : On peut aussi dissocier la machine tritherme en
un moteur ditherme fonctionnant entre T 0 et T 1 dont le travail alimente une machine frigorifique fonctionnant entre T 1
et T 2 .
Le rendement du moteur est 1–
et l’efficacité de la
machine
.
L’efficacité de la machine ainsi modélisée est :
e =
,
ce qui correspond au résultat ci-dessus.
Température maximale
d’un système isolé
L’ensemble sources + machine est isolé :
∆U total = 0 = ∆U machine + ∆U sources .
La machine n’effectue pas de cycles au sens strict, car la température des sources évolue lentement.
Toutefois, si on néglige la capacité thermique de la machine
devant celle des sources, on peut négliger ∆U machine pour un
nombre entier de pseudo-cycles.
Il reste :
∆U sources =0=C(T 1 – T 10 ) + C (T 2 – T 20 ) + C (T 3 – T 30 ).
D’où :
T 1 + T 2 + T 3 = T 10 + T 20 + T 30 .
De plus :
∆S sources + ∆S machine 0.
Soit, pour un nombre entier de cycles :
∆S sources 0.
Cln
+ C ln
+ C ln
0.
Dans le cas limite de la réversibilité, on a alors :
T 1 T 2 T 3 = T 10 T 20 T 30 .
T 3
T 30
T 2
T 20
T 1
T 10
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CORRIGÉS
Machines thermiques
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