CORRIGÉS
Dynamique du pointmatériel
2
25
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
A.N. : v 0 x = 2,41 m.s –1 ;v 0z = –2,69 m.s –1 ;
z 0 =1,33 m;t f =0,315 s;v
➞
f =2,41 e
➞
x –5,78 e
➞
z
et v f = 6,26 m.s –1 =22,5 km.h –1 .
Cette vitesse alamême norme
que celle qu’aurait l’enfant s’il tombait en chute libre depuis le sommet de
l’igloo :l et héorème de l’énergie cinétique (cf. chapitre suivant) donne ce résultat immédiatement.
Équilibred’unpoint
1 • Les forces appliquées au point M sont :
•son poids P
➞ = mg
➞ = – mg(sinq e
➞
r +cosq e
➞
q );
•laréaction du cercle N
➞ = Ne
➞
r (pas de frottements) ;
•laforce de rappel F
➞ = kMA
— ➞ :
F
➞
Quand le point M est àl’équilibre, P
➞ + N
➞ + F
➞ = 0.
La force N
➞ étant inconnue, on projette cette équation sur e
➞
q :
Il yadonc deux positions d’équilibre :
qq
q
12
1
=
=+
arce t
tan.
mg
kR
π
⇔= tan. q
mg
kR
–c os
coss in
mg
kR
q
qq
+
=
2
22
0
e r
e
θ
θ
M
AR
B
O
θ
2
θ
2
z
y
x
=
–c os
cos– sin
kR
ee r
2
22
2
qq
q
q
.
5
v f
ga
=
(
)
2
2 • La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞ = P
➞ + N
➞ + F
➞ .C omme àl aq uestion précédente,o nl a
projette sur e
➞
q pour éliminer N :
3 • q e = q 1 ou q 2 .
q = q e + u avec u << q e ,d’où :
cosq = cosq e cosu –s inq e sinu = cosq e – usinq e
au premier ordre en u .
De même :
sinq = sinq e cosu +cosq e sinu = sinq e + u cosq e .
L’équation du mouvement devient, au premier ordreen u:
mR ¨
u = – mgcosq e + kRsinq e + u(kR cosq e + mgsinq e ).
Le terme constant est nul (définition de q e ). Il reste :
(On remarque que
et
sont homogènes àd es pulsations au carré.)
La nature des solutions de cette équation dépend du signe du
terme facteur de u .
Pour q e = q 1 ,cosq 1 et sinq 1 sont positifs. On pose alors
Or,s inq 1 = tanq 1 cosq 1 =
,d’où :
w 2 == +
1
2
.
k
m cosq 1
k 2
m 2
g
2
R 2
kR
mg
–1
1
cosq
wq
q
21
1
=+
k
m
g
R
coss in .
k
m
g
R
u
k
m
g
R
u
–c os
sin.
qq ee +
= 0
mR
mg
kR
mg
qq
qq
=+
=
–c os
coss in
–
2
22
c c os
sin.
qq + kR
éq 2
éq 1
y
q 1
q 2
x
Dynamique du pointmatériel
2
25
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
A.N. : v 0 x = 2,41 m.s –1 ;v 0z = –2,69 m.s –1 ;
z 0 =1,33 m;t f =0,315 s;v
➞
f =2,41 e
➞
x –5,78 e
➞
z
et v f = 6,26 m.s –1 =22,5 km.h –1 .
Cette vitesse alamême norme
que celle qu’aurait l’enfant s’il tombait en chute libre depuis le sommet de
l’igloo :l et héorème de l’énergie cinétique (cf. chapitre suivant) donne ce résultat immédiatement.
Équilibred’unpoint
1 • Les forces appliquées au point M sont :
•son poids P
➞ = mg
➞ = – mg(sinq e
➞
r +cosq e
➞
q );
•laréaction du cercle N
➞ = Ne
➞
r (pas de frottements) ;
•laforce de rappel F
➞ = kMA
— ➞ :
F
➞
Quand le point M est àl’équilibre, P
➞ + N
➞ + F
➞ = 0.
La force N
➞ étant inconnue, on projette cette équation sur e
➞
q :
Il yadonc deux positions d’équilibre :
q
12
1
=
=+
arce t
tan.
mg
kR
π
⇔= tan. q
mg
kR
–c os
coss in
mg
kR
q
+
=
2
22
0
e r
e
θ
θ
M
AR
B
O
θ
2
θ
2
z
y
x
=
–c os
cos– sin
kR
ee r
2
22
2
q
q
.
5
v f
ga
=
(
)
2
2 • La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞ = P
➞ + N
➞ + F
➞ .C omme àl aq uestion précédente,o nl a
projette sur e
➞
q pour éliminer N :
3 • q e = q 1 ou q 2 .
q = q e + u avec u << q e ,d’où :
cosq = cosq e cosu –s inq e sinu = cosq e – usinq e
au premier ordre en u .
De même :
sinq = sinq e cosu +cosq e sinu = sinq e + u cosq e .
L’équation du mouvement devient, au premier ordreen u:
mR ¨
u = – mgcosq e + kRsinq e + u(kR cosq e + mgsinq e ).
Le terme constant est nul (définition de q e ). Il reste :
(On remarque que
et
sont homogènes àd es pulsations au carré.)
La nature des solutions de cette équation dépend du signe du
terme facteur de u .
Pour q e = q 1 ,cosq 1 et sinq 1 sont positifs. On pose alors
Or,s inq 1 = tanq 1 cosq 1 =
,d’où :
w 2 == +
1
2
.
k
m cosq 1
k 2
m 2
g
2
R 2
kR
mg
–1
1
cosq
wq
q
21
1
=+
k
m
g
R
coss in .
k
m
g
R
u
k
m
g
R
u
–c os
sin.
qq ee +
= 0
mR
mg
kR
mg
=+
=
–c os
coss in
–
2
22
c c os
sin.
qq + kR
éq 2
éq 1
y
q 1
q 2
x