CORRIGÉS
Second principe. Bilans d’entropie
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265
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
On trace la fonction
pour des valeurs de x
proches de zéro :
La tangente à l’origine de la courbe est verticale ce qui
signifie que créée est, en zéro, un infiniment petit d’ordre inférieur à 1: le mélange de deux gaz de natures différentes est donc foncièrement irréversible, même si l’un des
deux est en très petite quantité par rapport à l’autre.
Il est donc impossible de modéliser cette transformation
par une évolution réversible.
Pour bien réaliser la signification physique de ce résultat,
on peut imaginer le mélange de deux gaz dont l’un est
coloré (méthane et chlore par exemple).
Remarques : Lorsque x tend vers zéro, un équivalent de
l’expression donnant créée est :
créée = – n 1 Rx ln (x) ;
cette quantité tend vers zéro par valeurs positives, mais
moins vite que x puisque – ln (x) tend vers l’infini.
x
n 1 R
créée
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0
00 ,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Système à deux niveaux
1 • L’énergie interne est une grandeur extensive et
l’ensemble des particules d’énergie E i a une énergie
totale n i E i , donc :
U = n 1 E 1 + n 2 E 2 .
Soit dU = E 1 dn 1 + E 2 dn 2 où dU représente la variation d’énergie interne qu’accompagne la transition de
dn 1 particules du niveau E 1 au niveau E 2 .
Bien sûr, puisque N est constant :
dn 1 = – dn 2 et dU = – (E 2 – E 1 )dn 1 = – ∆Edn 1 .
2 • L’entropie statistique est donnée par :
S = k B ln Ω ,
où Ω est le nombre de complexions du système. Or,
pour réaliser le macroétat :
{(n 1 , E 1 ); (N – n 1 , E 2 )},
il y a
possibilités, soit Ω =
.
Remarque : Ceci suppose que les particules étudiées
soient discernables.
Soit : S = k B ln
= k B ln
,
d’où en utilisant la relation de Stirling :
S = k B [N ln N – n 1 ln n 1 – (N – n 1 ) ln (N – n 1 )] ,
et en différentiant :
dS = k B [– dn 1 – dn 1 (ln n 1 ) + dn 1 ln (N – n 1 ) + dn 1 ]
dS = k B dn 1 ln
.
Or,
= exp
et dS = –
dn 1 .
3 • L’identification des deux relations conduit bien à
dU = TdS (le volume du système étant constant).
N
n 1
N
n 1
N
n 1
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Second principe. Bilans d’entropie
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
On trace la fonction
pour des valeurs de x
proches de zéro :
La tangente à l’origine de la courbe est verticale ce qui
signifie que créée est, en zéro, un infiniment petit d’ordre inférieur à 1: le mélange de deux gaz de natures différentes est donc foncièrement irréversible, même si l’un des
deux est en très petite quantité par rapport à l’autre.
Il est donc impossible de modéliser cette transformation
par une évolution réversible.
Pour bien réaliser la signification physique de ce résultat,
on peut imaginer le mélange de deux gaz dont l’un est
coloré (méthane et chlore par exemple).
Remarques : Lorsque x tend vers zéro, un équivalent de
l’expression donnant créée est :
créée = – n 1 Rx ln (x) ;
cette quantité tend vers zéro par valeurs positives, mais
moins vite que x puisque – ln (x) tend vers l’infini.
x
n 1 R
créée
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0
00 ,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Système à deux niveaux
1 • L’énergie interne est une grandeur extensive et
l’ensemble des particules d’énergie E i a une énergie
totale n i E i , donc :
U = n 1 E 1 + n 2 E 2 .
Soit dU = E 1 dn 1 + E 2 dn 2 où dU représente la variation d’énergie interne qu’accompagne la transition de
dn 1 particules du niveau E 1 au niveau E 2 .
Bien sûr, puisque N est constant :
dn 1 = – dn 2 et dU = – (E 2 – E 1 )dn 1 = – ∆Edn 1 .
2 • L’entropie statistique est donnée par :
S = k B ln Ω ,
où Ω est le nombre de complexions du système. Or,
pour réaliser le macroétat :
{(n 1 , E 1 ); (N – n 1 , E 2 )},
il y a
possibilités, soit Ω =
.
Remarque : Ceci suppose que les particules étudiées
soient discernables.
Soit : S = k B ln
= k B ln
,
d’où en utilisant la relation de Stirling :
S = k B [N ln N – n 1 ln n 1 – (N – n 1 ) ln (N – n 1 )] ,
et en différentiant :
dS = k B [– dn 1 – dn 1 (ln n 1 ) + dn 1 ln (N – n 1 ) + dn 1 ]
dS = k B dn 1 ln
.
Or,
= exp
et dS = –
dn 1 .
3 • L’identification des deux relations conduit bien à
dU = TdS (le volume du système étant constant).
N
n 1
N
n 1
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