CORRIGÉS
Second principe. Bilans d’entropie
4
263
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
+ m 0 c 0 T 1 – 1 =
P 1 V 2 – P 1 V 3 = P 1 V 2 – P1 V 1
=
=
=
.
A.N. : T 3 = 295,2 K .
Étudions les variations de la fonction :
f (P 2 ) = p + (p + P 2 ) .
f est extrémale lorsque s’annule sa dérivée, soit pour
P 2 = P 1 .
Comme f → ∞ pour P 1 → ∞ et pour P 2 → ∞ , cet extremum est un minimum.
On en déduit que T 3 est minimale et égale à T 1 si P 2 =
P 1 (c’est-à-dire si rien ne se passe !)
Dans tous les autres cas, T 3 T 1 , ce qui est conforme au
résultat de la question 4 a.
On remarque que, avec les valeurs proposées, l’écart de
température est faible. La variation relative de pression
est, ici, suffisamment faible pour que l’évolution soit proche de la réversibilité. Pour P 2 = 2 bars , on aurait trouvé
T 3 = 308 K .
c. Considérons le système {gaz + laine d’acier}. Ce système n’ayant reçu aucun transfert thermique de l’extérieur
(bien entendu, les transferts internes ne sont pas pris en
compte !), on peut écrire :
∆S = S créée .
Comme l’entropie est une fonction extensive :
∆S = ∆S gaz + ∆S laine d’acier .
La pression initiale et la pression finale étant égales, et en
utilisant les expressions de l’entropie pour un gaz parfait
et pour une phase condensée (voir les rappels en début de
chapitre) :
S créée =
ln
+ m 0 c 0 ln
=
+ m 0 c 0 ln .
A.N. : S créée = 0,028 J. K –1 .
Remarquons que si P 2 = 2 bar, on obtient S créée =
1,49 J. K –1 : L’entropie créé est bien plus importante, car
la transformation est plus éloignée du cas limite de la
réversibilité.
S(U, V), fonction caractéristique
1 • En différentiant S (U, V ):
8
T 3
T 1
γ
γ – 1
P 1 V 1
T 1
T 3
T 1
T 3
T 1
n R γ
γ – 1
P 1
2
P 2
p +
P
P
1
2
2
(p + P 2 )
(p + P 1 ) 2
p +
P
P
1
2
2
p + P 1
T 2
T 1
T 3
T 1
T 2
T 1
T 3
T 2
P 1 V 1
(γ – 1)
.
D’autre part,
.
En identifiant ces deux expressions, on obtient :
La première expression donne :
U (T, V ) = C V, m T –
(1)
(à une constante près).
L’élimination de U et C V, m des deux équations permet
d’obtenir l’équation d’état du gaz :
,
donc l’équation de Van der Waals pour une mole de gaz :
(2)
2 • a. La détente de Joule – Gay-Lussac se fait à énergie
interne constante ce qui permet de calculer la variation de
température du gaz.
En utilisant l’extensivité de U et V :
(3),
soit : avec ∆U = 0 ,
, d’où
.
A.N. : ∆T = – 2,6 K .
On peut, de la même manière, écrire l’entropie :
En utilisant (3) :
.
A.N. : ∆S = 11,16 J . mol –1 . K –1 .
b. Pour le gaz parfait :
∆T G.P. = 0e t ∆S G.P. = 2 R ln 2 = 11,53 J . K –1 ∆S .
Les deux variations d’entropie sont positives conformément
au deuxième principe, les systèmes étant thermiquement isolés
durant leurs évolutions respectives.
Remarques : La fonction S (U, V ) introduite ici est caractéristique du fluide étudié ; elle contient en effet toute l’information disponible sur le système puisqu’elle permet de trouver
Second principe. Bilans d’entropie
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
+ m 0 c 0 T 1 – 1 =
P 1 V 2 – P 1 V 3 = P 1 V 2 – P1 V 1
=
=
=
.
A.N. : T 3 = 295,2 K .
Étudions les variations de la fonction :
f (P 2 ) = p + (p + P 2 ) .
f est extrémale lorsque s’annule sa dérivée, soit pour
P 2 = P 1 .
Comme f → ∞ pour P 1 → ∞ et pour P 2 → ∞ , cet extremum est un minimum.
On en déduit que T 3 est minimale et égale à T 1 si P 2 =
P 1 (c’est-à-dire si rien ne se passe !)
Dans tous les autres cas, T 3 T 1 , ce qui est conforme au
résultat de la question 4 a.
On remarque que, avec les valeurs proposées, l’écart de
température est faible. La variation relative de pression
est, ici, suffisamment faible pour que l’évolution soit proche de la réversibilité. Pour P 2 = 2 bars , on aurait trouvé
T 3 = 308 K .
c. Considérons le système {gaz + laine d’acier}. Ce système n’ayant reçu aucun transfert thermique de l’extérieur
(bien entendu, les transferts internes ne sont pas pris en
compte !), on peut écrire :
∆S = S créée .
Comme l’entropie est une fonction extensive :
∆S = ∆S gaz + ∆S laine d’acier .
La pression initiale et la pression finale étant égales, et en
utilisant les expressions de l’entropie pour un gaz parfait
et pour une phase condensée (voir les rappels en début de
chapitre) :
S créée =
ln
+ m 0 c 0 ln
=
+ m 0 c 0 ln .
A.N. : S créée = 0,028 J. K –1 .
Remarquons que si P 2 = 2 bar, on obtient S créée =
1,49 J. K –1 : L’entropie créé est bien plus importante, car
la transformation est plus éloignée du cas limite de la
réversibilité.
S(U, V), fonction caractéristique
1 • En différentiant S (U, V ):
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T 3
T 1
γ
γ – 1
P 1 V 1
T 1
T 3
T 1
T 3
T 1
n R γ
γ – 1
P 1
2
P 2
p +
P
P
1
2
2
(p + P 2 )
(p + P 1 ) 2
p +
P
P
1
2
2
p + P 1
T 2
T 1
T 3
T 1
T 2
T 1
T 3
T 2
P 1 V 1
(γ – 1)
.
D’autre part,
.
En identifiant ces deux expressions, on obtient :
La première expression donne :
U (T, V ) = C V, m T –
(1)
(à une constante près).
L’élimination de U et C V, m des deux équations permet
d’obtenir l’équation d’état du gaz :
,
donc l’équation de Van der Waals pour une mole de gaz :
(2)
2 • a. La détente de Joule – Gay-Lussac se fait à énergie
interne constante ce qui permet de calculer la variation de
température du gaz.
En utilisant l’extensivité de U et V :
(3),
soit : avec ∆U = 0 ,
, d’où
.
A.N. : ∆T = – 2,6 K .
On peut, de la même manière, écrire l’entropie :
En utilisant (3) :
.
A.N. : ∆S = 11,16 J . mol –1 . K –1 .
b. Pour le gaz parfait :
∆T G.P. = 0e t ∆S G.P. = 2 R ln 2 = 11,53 J . K –1 ∆S .
Les deux variations d’entropie sont positives conformément
au deuxième principe, les systèmes étant thermiquement isolés
durant leurs évolutions respectives.
Remarques : La fonction S (U, V ) introduite ici est caractéristique du fluide étudié ; elle contient en effet toute l’information disponible sur le système puisqu’elle permet de trouver