“paleoclimatique_t2” — 2013/10/24 — 11:38 — page 179 — #202
i
i
i
i
i
i
i
i
4. La modélisation en paléoclimatologie
179
de salinité S 1 ), et une masse d’eau légèrement plus chaude et salée pour le
fond (de température T 0 et de salinité S 0 ). La boîte profonde est beaucoup
plus grande que la boîte de surface, et on suppose T 0 et S 0 constants. La
différence de densité Δρ = ρ 1 − ρ 0 entre ces deux boîtes s’obtient en fonction
des coefficients positifs de dilatation thermique α et de contraction saline β
supposés constants :
Δρ = −α(T 1 − T 0 ) + β(S 1 − S 0 ).
(4.14)
Le mélange vertical (la convection c) est très petit si la colonne est bien
stratifiée (si Δρ < −ε < 0). Il sera grand dans le cas contraire :
c = c 0 , c 0 petit si Δρ < −ε ;
c = c 1 , c 1 grand si Δρ > −ε.
Les variables du problème sont cette fois la température et la salinité de la
boîte de surface, et les équations d’évolution correspondantes s’écrivent :
dT 1
dt
= k (T A − T 1 ) + c (T 0 − T 1 ) ;
dS 1
dt
= Σ + c (S 0 − S 1 ) .
(4.15)
On peut tenter d’obtenir l’état d’équilibre, en annulant ces deux équations,
ce qui donne :
T
e
1 =
k T A + c
e
T 0
k + c e
; S
e
1 = S 0 +
Σ
c e
(4.16)
où c
e est la valeur du mélange vertical pour une température T
e
1 et une salinité S
e
1 , c’est-à-dire pour une différence de densité Δρ
e (c
e = c 0 si Δρ
e
< −ε ;
c
e = c 1 sinon). On est donc amené à résoudre :
Δρ
e = −α
k (T A − T 0 )
k + c e (Δρ e )
+ β
Σ
c e (Δρ e )
; soit Δρ
e = F (Δρ
e )
(4.17)
où F est une constante selon le signe de Δρ (F = F 0 si Δρ
e
< −ε ; F =
F 1 sinon). Il y a donc zéro, une ou deux solutions, suivant les valeurs des
paramètres, comme cela est illustré sur la figure 4.11.
De façon générale, si c est une fonction continue de Δρ, alors F (Δρ) sera
aussi une fonction continue et il existera un nombre impair de solutions, alternativement stables et instables, comme pour le modèle de Stommel. Le cas
« zéro solution » sur la figure 4.11 (cas discontinu) correspondrait en fait à un
« équilibre instable » pour un modèle continu. Il existe alors un cycle limite
(une oscillation) : en l’absence de convection intense (c = c 0 ), on tend vers
un équilibre dans l’autre domaine (avec une convection forte, c = c 1 ), comme
indiqué sur le schéma de la figure 4.12. Il y a alors une oscillation entre un
état « diffusif » (c petit = c 0 ) et un état « convectif » (c grand = c 1 ). De
telles oscillations ont été observées aussi, sous certaines conditions, dans les
modèles océaniques tri-dimensionnels.
i
i
i
i
i
i
i
i
4. La modélisation en paléoclimatologie
179
de salinité S 1 ), et une masse d’eau légèrement plus chaude et salée pour le
fond (de température T 0 et de salinité S 0 ). La boîte profonde est beaucoup
plus grande que la boîte de surface, et on suppose T 0 et S 0 constants. La
différence de densité Δρ = ρ 1 − ρ 0 entre ces deux boîtes s’obtient en fonction
des coefficients positifs de dilatation thermique α et de contraction saline β
supposés constants :
Δρ = −α(T 1 − T 0 ) + β(S 1 − S 0 ).
(4.14)
Le mélange vertical (la convection c) est très petit si la colonne est bien
stratifiée (si Δρ < −ε < 0). Il sera grand dans le cas contraire :
c = c 0 , c 0 petit si Δρ < −ε ;
c = c 1 , c 1 grand si Δρ > −ε.
Les variables du problème sont cette fois la température et la salinité de la
boîte de surface, et les équations d’évolution correspondantes s’écrivent :
dT 1
dt
= k (T A − T 1 ) + c (T 0 − T 1 ) ;
dS 1
dt
= Σ + c (S 0 − S 1 ) .
(4.15)
On peut tenter d’obtenir l’état d’équilibre, en annulant ces deux équations,
ce qui donne :
T
e
1 =
k T A + c
e
T 0
k + c e
; S
e
1 = S 0 +
Σ
c e
(4.16)
où c
e est la valeur du mélange vertical pour une température T
e
1 et une salinité S
e
1 , c’est-à-dire pour une différence de densité Δρ
e (c
e = c 0 si Δρ
e
< −ε ;
c
e = c 1 sinon). On est donc amené à résoudre :
Δρ
e = −α
k (T A − T 0 )
k + c e (Δρ e )
+ β
Σ
c e (Δρ e )
; soit Δρ
e = F (Δρ
e )
(4.17)
où F est une constante selon le signe de Δρ (F = F 0 si Δρ
e
< −ε ; F =
F 1 sinon). Il y a donc zéro, une ou deux solutions, suivant les valeurs des
paramètres, comme cela est illustré sur la figure 4.11.
De façon générale, si c est une fonction continue de Δρ, alors F (Δρ) sera
aussi une fonction continue et il existera un nombre impair de solutions, alternativement stables et instables, comme pour le modèle de Stommel. Le cas
« zéro solution » sur la figure 4.11 (cas discontinu) correspondrait en fait à un
« équilibre instable » pour un modèle continu. Il existe alors un cycle limite
(une oscillation) : en l’absence de convection intense (c = c 0 ), on tend vers
un équilibre dans l’autre domaine (avec une convection forte, c = c 1 ), comme
indiqué sur le schéma de la figure 4.12. Il y a alors une oscillation entre un
état « diffusif » (c petit = c 0 ) et un état « convectif » (c grand = c 1 ). De
telles oscillations ont été observées aussi, sous certaines conditions, dans les
modèles océaniques tri-dimensionnels.