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N
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Ol
ï::::
>a.
0
u
Chapitre 1 • Particules et interactions
6
solution de l'équation de Laplace
1 :
~V=O==} V= .ft,
(1.8)
r
où r est la distance à la source et g une constante numérique qui va quantifier ]'intensité de l'interaction. La portée d'une te11e interaction est infinie, avec une décroissance inverse à l'éloignement des charges en interaction.
Les interactions faible et forte devraient également faire intervenir un équivalent
au photon. Néanmoins, pour prendre en compte la courte portée de ces interactions,
ces« photons» doivent être massifs. L'émission d'une telle particule par une charge
statique viole la conservation de la masse, mais est autorisée en mécanique quantique
par le principe d'incertitude d'Heisenberg ~E~t;;::; n: tant que le temps d'interaction
Test inférieur à ;: 2 • Cette durée Ji mitée se traduit par une portée limitée del' interaction de l'ordre de À= !!!... ru:
Ceci peut se formuler plus rigoureusement en quantifiant la relation relativiste
entre énergie et impulsion (voir également chapitre 4) :
2
2 2
? 4
Quantification
m
2 c
2
E = p c + m-c
Dijf + ~ = O.
E-tin*1, p-ti'/i~
(1.9)
On obtient l'équivalent relativiste de l'équation de Schrodinger: l'équation de KleinGordon. Pour un système statique et un boson sans masse, on retrouve l'équation de
Laplace. On remarque, dans ce cas, que la fonction d'onde du photon dans l'équation
de Klein-Gordon correspond au potentiel électrostatique. Pour un vecteur d' interaction massif, le potentiel statique devient solution de l'équation :
mc 2
~u --u
- ri
.
(1.10)
Pour un potentiel ne dépendant que de la coordonnée radiale, U(r), on résout cette
équation en coordonnées sphériques :
] 0 ( iJU) mc
2
g -rj R
- - r - = - U ==} U(r) = - e
,
r 2 or or
n
r
(1.11)
où R = ,::c est la portée de l'interaction. Ce potentiel, dit potentiel de Yukawa, tombe
rapidement à zéro pour des distances supérieures à quelques R à cause du facteur
exponentiel. Un « photon » massif va permettre de décrire une interaction de courte
portée, cette portée étant égale à l'inverse de la masse du« photon».
l. On rappelle quelques opérateurs différentiels usuels : l'opérateur vectoriel nabla ou gradient V =
( ~ ~ ~) le laplacien !:J. = V 2 et le d'alembertien o = L - !:J..
fu•~· ~ ·
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où r est la distance à la source et g une constante numérique qui va quantifier ]'intensité de l'interaction. La portée d'une te11e interaction est infinie, avec une décroissance inverse à l'éloignement des charges en interaction.
Les interactions faible et forte devraient également faire intervenir un équivalent
au photon. Néanmoins, pour prendre en compte la courte portée de ces interactions,
ces« photons» doivent être massifs. L'émission d'une telle particule par une charge
statique viole la conservation de la masse, mais est autorisée en mécanique quantique
par le principe d'incertitude d'Heisenberg ~E~t;;::; n: tant que le temps d'interaction
Test inférieur à ;: 2 • Cette durée Ji mitée se traduit par une portée limitée del' interaction de l'ordre de À= !!!... ru:
Ceci peut se formuler plus rigoureusement en quantifiant la relation relativiste
entre énergie et impulsion (voir également chapitre 4) :
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E = p c + m-c
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(1.9)
On obtient l'équivalent relativiste de l'équation de Schrodinger: l'équation de KleinGordon. Pour un système statique et un boson sans masse, on retrouve l'équation de
Laplace. On remarque, dans ce cas, que la fonction d'onde du photon dans l'équation
de Klein-Gordon correspond au potentiel électrostatique. Pour un vecteur d' interaction massif, le potentiel statique devient solution de l'équation :
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Pour un potentiel ne dépendant que de la coordonnée radiale, U(r), on résout cette
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- - r - = - U ==} U(r) = - e
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où R = ,::c est la portée de l'interaction. Ce potentiel, dit potentiel de Yukawa, tombe
rapidement à zéro pour des distances supérieures à quelques R à cause du facteur
exponentiel. Un « photon » massif va permettre de décrire une interaction de courte
portée, cette portée étant égale à l'inverse de la masse du« photon».
l. On rappelle quelques opérateurs différentiels usuels : l'opérateur vectoriel nabla ou gradient V =
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