26.6. Aspects probabilistes et cinétiques
DÉMONSTRATION
l · dt est la probabilité de désintégration d’un nuclide pendant la durée dt, c’est-à-dire la
proportion du nombre moyen de nuclides présents à l’instant t qui se désintègrent entre t
et t + dt : l · dt = [ N(t) – N(t + dt) ] / N(t) = [ – dN ] / N.
c) Désintégration simple et relation entre l, T et vie moyenne
Théorème 26.23
D −→
l
D ’
Évolution du nombre N de nuclides radioactifs D d’un échantillon :
dN = − N · l · dt ⇒ N (t) = N (0) · exp( − l · t).
N (T ) = N (0) / 2 ⇒ T = ln(2) / l ; N (t) = N (0) / e ⇒ t = 1 / l
Évolution de l’activité : a(t) = l · N (t) = l · a(0) · exp( − l · t )
Si D ’ est stable, le nombre de nuclides fils produits est N
′ (t) = N (0) − N (t).
DÉMONSTRATION
dN
N
= −l·
dt ⇒ lnN = −l·t + C ⇒ N (t) = C·exp( − l·t) ⇒ N (0) = C ;
N (0) / 2 = N (0)·exp( − l·T ) ⇒ exp(l·T ) = 2 ; de même : exp(l·t) = e = exp(1) ;
a = [ N (t) − N (t + dt) ] / dt = [ − dN ] / dt = N ·l ;
N ’ est égal au nombre de nuclides D qui se sont désintégrés.
Les nuclides D qui ont une durée de vie comprise entre t et t + dt sont ceux qui se
désintègrent entre t et t + dt ; leur nombre est N(t) – N(t + dt) = – dN = N · l · dt et
t =
1
N (0)
·
t
[(N ·l·dt)·t] =
1
N (0)
·
∞
0
l·N ·t·dt = l·
∞
0
t·exp( − l·t)·dt =
1
l
.
Voir site
web
d) Désintégrations en chaîne
Théorème 26.24
D 1 −→
l1
D 2 −→
l2
D 3 ... D k −→
l k
D ’ stable

        
        
dN 1 = −N 1 · l 1 · dt
dN 2 = −N 2 · l 2 · dt + N 1 · l 1 · dt
dN 3 = −N 3 · l 3 · dt + N 2 · l 2 · dt
...
dN ’ = N k · l k · dt
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 535 — #545
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