LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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grand, en couleurs claires, là où il est petit. On y vérifie effectivement
(du moins, visuellement) la conclusion du théorème 3.9 : la plupart
des fonctions propres présentent une coloration à peu près uniforme.
Cependant, il semble que l'on n'ait pas unique ergodicité quantique :
certaines fonctions propres, rares certes, .mais apparemment persistantes pour des fréquences arbitrairement grandes, ne présentent pas
une distribution uniforme.
De manière surprenante (pour une géométrie aussi simple!), ceci
est très difficile à démontrer, et ne l'est pas encore tout à fait à l'heure
actuelle. Précisons qu'il n'est pas possible, même pour un exemple
aussi simple, de calculer explicitement valeurs propres et fonctions
propres. Il a fallu attendre 2008 pour le seul résultat rigoureux sur
l'absence d'unique ergodicité quantique sur le stade. A cette date,
Andrew Hassell a démontré qu'effectivement, il existe une suite de
fonctions propres dont la distribution asymptotique n'est pas uniforme [HaslO]. Mais il ne le démontre que pour presque tout stade.
Qu'est-ce que cela veut dire? Si l'on fixe le diamètre des demi-disques
à 1, on peut encore faire varier l'autre longueur .e. du rectangle. On
a donc en fait toute une famille de stades. Hassell ne démontre son
résultat que pour .e. en dehors d'un ensemble de mesure nulle de R_+
(non explicite toutefois). Cela veut dire que son résultat est démontré pour l'immense majorité des stades, mais que je ne peux pas vous
dire s'il s'applique pour .e. = 3.
On renvoie à l'article en ligne [AB13] pour plus d'images.
Références
[Ana08]
N. ANANTHARAMAN- « Entropy and the localization ofeigenfunctions », Ann.
of Math. (2) 168 {2008), no. 2, p. 435-475.
[AB13]
N. ANANTHARAMAN & A. BACKER - « Quantum ergodicity and beyond - with
a gallery of pictures », IAMP News Bulletin {April 2013).
[AM14)
N. ANANTHARAMAN & F. MACIÀ - « Semiclassical measures for the Schrôdinger equation on the torus », J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 16 {2014), no. 6,
p. 1253-1288.
[AN07)
N. ANANTHARAMAN & S. NONNENMACHER - « Half-delocalization of eigenfunctions for the Laplacian on an Anosov manifold », Ann. Inst. Fourier
(Grenoble) 57 {2007), no. 7, p. 2465-2523.
[AA67)
V. 1. ARNOLD & A. AVEZ - Problèmes ergodiques de la mécanique classique,
Monographies Internationales de Mathématiques Modernes, No. 9, GauthierVillars, Éditeur, Paris, 1967.
[BG92)
M. BERGER & B. GOSTIAUX - Géométrie différentielle : variétés, courbes et
surfaces, 2e éd., Presses Universitaires de France, Paris, 1992.
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grand, en couleurs claires, là où il est petit. On y vérifie effectivement
(du moins, visuellement) la conclusion du théorème 3.9 : la plupart
des fonctions propres présentent une coloration à peu près uniforme.
Cependant, il semble que l'on n'ait pas unique ergodicité quantique :
certaines fonctions propres, rares certes, .mais apparemment persistantes pour des fréquences arbitrairement grandes, ne présentent pas
une distribution uniforme.
De manière surprenante (pour une géométrie aussi simple!), ceci
est très difficile à démontrer, et ne l'est pas encore tout à fait à l'heure
actuelle. Précisons qu'il n'est pas possible, même pour un exemple
aussi simple, de calculer explicitement valeurs propres et fonctions
propres. Il a fallu attendre 2008 pour le seul résultat rigoureux sur
l'absence d'unique ergodicité quantique sur le stade. A cette date,
Andrew Hassell a démontré qu'effectivement, il existe une suite de
fonctions propres dont la distribution asymptotique n'est pas uniforme [HaslO]. Mais il ne le démontre que pour presque tout stade.
Qu'est-ce que cela veut dire? Si l'on fixe le diamètre des demi-disques
à 1, on peut encore faire varier l'autre longueur .e. du rectangle. On
a donc en fait toute une famille de stades. Hassell ne démontre son
résultat que pour .e. en dehors d'un ensemble de mesure nulle de R_+
(non explicite toutefois). Cela veut dire que son résultat est démontré pour l'immense majorité des stades, mais que je ne peux pas vous
dire s'il s'applique pour .e. = 3.
On renvoie à l'article en ligne [AB13] pour plus d'images.
Références
[Ana08]
N. ANANTHARAMAN- « Entropy and the localization ofeigenfunctions », Ann.
of Math. (2) 168 {2008), no. 2, p. 435-475.
[AB13]
N. ANANTHARAMAN & A. BACKER - « Quantum ergodicity and beyond - with
a gallery of pictures », IAMP News Bulletin {April 2013).
[AM14)
N. ANANTHARAMAN & F. MACIÀ - « Semiclassical measures for the Schrôdinger equation on the torus », J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 16 {2014), no. 6,
p. 1253-1288.
[AN07)
N. ANANTHARAMAN & S. NONNENMACHER - « Half-delocalization of eigenfunctions for the Laplacian on an Anosov manifold », Ann. Inst. Fourier
(Grenoble) 57 {2007), no. 7, p. 2465-2523.
[AA67)
V. 1. ARNOLD & A. AVEZ - Problèmes ergodiques de la mécanique classique,
Monographies Internationales de Mathématiques Modernes, No. 9, GauthierVillars, Éditeur, Paris, 1967.
[BG92)
M. BERGER & B. GOSTIAUX - Géométrie différentielle : variétés, courbes et
surfaces, 2e éd., Presses Universitaires de France, Paris, 1992.