3 • Postulats de la physique statistique
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7. Diffusion dans les solides : dopage
À température suffisamment élevée, des atomes d’impuretés déposés sur un cristal peuvent sauter
d’un site à l’autre du réseau cristallin et migrer. Le processus de diffusion est appliqué industriellement au dopage des semi-conducteurs. On peut l’étudier expérimentalement en faisant diffuser
des atomes « marqués », radioactifs, dont on observe la concentration en chaque point en fonction du temps, ce qui fournit divers renseignements sur la structure du matériau. Une méthode
commode de marquage consiste à irradier à l’instant initial un point du solide avec un faisceau
de particules rapides.
Modélisation : Pour comprendre ce phénomène, on étudiera le modèle suivant à une dimension
qui schématise un fil de cuivre porté à quelques centaines de degrés. À l’instant t = 0, on marque
les atomes Cu
∗ placés en x = 0. Chaque atome marqué peut effectuer des sauts ±l le long de l’axe
Ox avec la même probabilité, où l est la distance entre 2 atomes voisins du Cu dans le cristal. Les
sauts sont indépendants et le temps moyen qui s’écoule entre deux sauts successifs d’un atome
est t. Le temps t, pratiquement infini à la température ordinaire, est une fonction rapidement
décroissante de la température.
1- a) Calculer la probabilité P(n) pour que l’atome de Cu
∗ fasse n sauts à droite au bout du
temps t = Nt (N grand). Combien de sauts a-t-il fait à gauche ? Calculer son abscisse x(n).
b) En déduire et (Dx)
2 . Les exprimer en fonction de t.
c) Calculer la valeur la plus probable de n : ˜
n. En déduire ˜
x = x(˜ n), l’abscisse la plus probable
au temps t. Comparer ce résultat à calculé en b).
d) Au voisinage de ˜
n, on remplace LogP(n) par son développement limité au deuxième ordre
en (n − ˜
n)
2 . Montrer que P(n) ≈ Q(n) où : Q(n) = Ae −
(n−˜ n)
2
2s 2 . Donner l’expression de s
2 .
2- Déduire de Q(n) la distribution de probabilité convenablement normalisée : P(x) dx, pour que
l’atome de Cu
∗ soit entre x −
dx
2
et x +
dx
2
à l’instant t. Calculer et (Dx)
2 . Comparer aux
résultats de 1-b. Conclusions.
8. On se propose d’étudier l’émission, pendant un intervalle de temps t, de particules a par une
source radioactive. Les particules a sont émises de façon aléatoire et on procède comme suit : on
découpe l’intervalle t en un grand nombre d’intervalles très courts Dt. La probabilité d’émission
a pendant un intervalle de temps particulier Dt est alors complètement indépendante de toute
autre désintégration se produisant à un instant différent. En fait, on peut réduire à volonté la
taille de Dt de façon à ce qu’il y ait au plus une désintégration pendant cet intervalle (i.e. que la
probabilité que se produisent deux ou plus de deux désintégrations pendant Dt soit négligeable).
Soit p (p 1) la probabilité pour qu’il se produise une désintégration pendant Dt. La probabilité
pour qu’il ne s’en produise pas est (1 − p).
1- On associe à chaque intervalle Dt la notion de tirage. À combien de tirages indépendants
correspond l’intervalle Dt ?
2- Montrer que la probabilité W(n) d’avoir au total n désintégrations pendant l’intervalle t est
une distribution de Poisson.
3- On suppose que la source radioactive émet en moyenne 24 particules a par minute. Calculer
la probabilité correspondant à un temps de mesure t = 10s. Calculer numériquement W(n) pour
les 8 premières valeurs entières de n (y compris n = 0).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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7. Diffusion dans les solides : dopage
À température suffisamment élevée, des atomes d’impuretés déposés sur un cristal peuvent sauter
d’un site à l’autre du réseau cristallin et migrer. Le processus de diffusion est appliqué industriellement au dopage des semi-conducteurs. On peut l’étudier expérimentalement en faisant diffuser
des atomes « marqués », radioactifs, dont on observe la concentration en chaque point en fonction du temps, ce qui fournit divers renseignements sur la structure du matériau. Une méthode
commode de marquage consiste à irradier à l’instant initial un point du solide avec un faisceau
de particules rapides.
Modélisation : Pour comprendre ce phénomène, on étudiera le modèle suivant à une dimension
qui schématise un fil de cuivre porté à quelques centaines de degrés. À l’instant t = 0, on marque
les atomes Cu
∗ placés en x = 0. Chaque atome marqué peut effectuer des sauts ±l le long de l’axe
Ox avec la même probabilité, où l est la distance entre 2 atomes voisins du Cu dans le cristal. Les
sauts sont indépendants et le temps moyen qui s’écoule entre deux sauts successifs d’un atome
est t. Le temps t, pratiquement infini à la température ordinaire, est une fonction rapidement
décroissante de la température.
1- a) Calculer la probabilité P(n) pour que l’atome de Cu
∗ fasse n sauts à droite au bout du
temps t = Nt (N grand). Combien de sauts a-t-il fait à gauche ? Calculer son abscisse x(n).
b) En déduire
2 . Les exprimer en fonction de t.
c) Calculer la valeur la plus probable de n : ˜
n. En déduire ˜
x = x(˜ n), l’abscisse la plus probable
au temps t. Comparer ce résultat à
d) Au voisinage de ˜
n, on remplace LogP(n) par son développement limité au deuxième ordre
en (n − ˜
n)
2 . Montrer que P(n) ≈ Q(n) où : Q(n) = Ae −
(n−˜ n)
2
2s 2 . Donner l’expression de s
2 .
2- Déduire de Q(n) la distribution de probabilité convenablement normalisée : P(x) dx, pour que
l’atome de Cu
∗ soit entre x −
dx
2
et x +
dx
2
à l’instant t. Calculer
2 . Comparer aux
résultats de 1-b. Conclusions.
8. On se propose d’étudier l’émission, pendant un intervalle de temps t, de particules a par une
source radioactive. Les particules a sont émises de façon aléatoire et on procède comme suit : on
découpe l’intervalle t en un grand nombre d’intervalles très courts Dt. La probabilité d’émission
a pendant un intervalle de temps particulier Dt est alors complètement indépendante de toute
autre désintégration se produisant à un instant différent. En fait, on peut réduire à volonté la
taille de Dt de façon à ce qu’il y ait au plus une désintégration pendant cet intervalle (i.e. que la
probabilité que se produisent deux ou plus de deux désintégrations pendant Dt soit négligeable).
Soit p (p 1) la probabilité pour qu’il se produise une désintégration pendant Dt. La probabilité
pour qu’il ne s’en produise pas est (1 − p).
1- On associe à chaque intervalle Dt la notion de tirage. À combien de tirages indépendants
correspond l’intervalle Dt ?
2- Montrer que la probabilité W(n) d’avoir au total n désintégrations pendant l’intervalle t est
une distribution de Poisson.
3- On suppose que la source radioactive émet en moyenne 24 particules a par minute. Calculer
la probabilité correspondant à un temps de mesure t = 10s. Calculer numériquement W(n) pour
les 8 premières valeurs entières de n (y compris n = 0).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.