3 • Postulats de la physique statistique
61
d’atomes de spin s =
1
2 disposés sur un réseau linéaire. En l’absence de champ magnétique, la projection du spin peut prendre 2 valeurs équiprobables : s z = ±
1
2 . Trouver la
distribution du spin total des N atomes est un problème analogue à celui d’un ivrogne qui
fait N pas tels que p = q =
1
2 . La marche au hasard correspond également au mouvement
d’une petite particule macroscopique en suspension dans un liquide. C’est ce que l’on
appelle le mouvement brownien. Il a été découvert en 1827 par le botaniste J. Brown en
observant l’évolution de la particule au microscope. Celle-ci est agitée de mouvements
erratiques dus aux collisions des molécules du liquide avec la particule macroscopique.
Revenons à notre problème initial et considérons un système qui se déplace selon l’axe
des x et qui se trouve initialement au point x = 0. Le déplacement se fait par pas discrets
de longueur l. Chaque pas est supposé indépendant du précédent. La probabilité d’aller
à gauche est égale à p et celle d’aller à droite à q = 1 − p. Après N pas, nous voulons
calculer la probabilité pour que le système soit à la distance x de l’origine. Comme les
pas ont tous une longueur l cette distance doit s’écrire :
x = ml
(30)
où m est un entier tel que :
−N m +N
(31)
Les bornes −N et +N de l’intervalle sont atteintes lorsque le système a effectué N pas
à gauche, ou à droite. Elles correspondent à la distance maximum qu’il peut parcourir
dans une direction. Notre but est de calculer la fonction de distribution de probabilité
P(m) pour chaque valeur de m appartenant à l’intervalle ci-dessus.
Appelons n le nombre de pas vers la droite et n le nombre de pas vers la gauche.
On a :
N = n + n
et m = n − n
= 2n − N
(32)
Comme 2n est un nombre pair, m est pair si N est pair, et impair dans le cas contraire.
Considérons une séquence particulière correspondant à n pas vers la droite et n pas vers
la gauche. Elle correspond à un trajet particulier suivi par le système. Par exemple :
droite, gauche, gauche, droite, etc.. Une telle séquence est l’analogue du micro-état en
physique statistique alors que la donnée de x = ml est l’analogue d’un macroétat. Pour
chaque macroétat possible (−N m +N), nous allons décompter le nombre de
micro-états permettant de l’obtenir. La probabilité d’avoir une séquence particulière correspondant à n pas à droite et n pas à gauche est égale à p n q n . Plusieurs séquences
peuvent conduire au même résultat. Par exemple, pour N = 3, n = 2 et n = 1, on
peut avoir 3 séquences différentes : (droite, droite, gauche), (droite, gauche, droite) et
(gauche, droite, droite). Ce problème est analogue à celui qui consiste à tirer n boules
parmi N boules identiques. Le résultat (cf. exercice 8, chapitre 2) correspond au nombre
de combinaisons de N objets pris n à n :
C
n
N =
N!
n! (N − n)!
=
N!
n! n !
(33)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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d’atomes de spin s =
1
2 disposés sur un réseau linéaire. En l’absence de champ magnétique, la projection du spin peut prendre 2 valeurs équiprobables : s z = ±
1
2 . Trouver la
distribution du spin total des N atomes est un problème analogue à celui d’un ivrogne qui
fait N pas tels que p = q =
1
2 . La marche au hasard correspond également au mouvement
d’une petite particule macroscopique en suspension dans un liquide. C’est ce que l’on
appelle le mouvement brownien. Il a été découvert en 1827 par le botaniste J. Brown en
observant l’évolution de la particule au microscope. Celle-ci est agitée de mouvements
erratiques dus aux collisions des molécules du liquide avec la particule macroscopique.
Revenons à notre problème initial et considérons un système qui se déplace selon l’axe
des x et qui se trouve initialement au point x = 0. Le déplacement se fait par pas discrets
de longueur l. Chaque pas est supposé indépendant du précédent. La probabilité d’aller
à gauche est égale à p et celle d’aller à droite à q = 1 − p. Après N pas, nous voulons
calculer la probabilité pour que le système soit à la distance x de l’origine. Comme les
pas ont tous une longueur l cette distance doit s’écrire :
x = ml
(30)
où m est un entier tel que :
−N m +N
(31)
Les bornes −N et +N de l’intervalle sont atteintes lorsque le système a effectué N pas
à gauche, ou à droite. Elles correspondent à la distance maximum qu’il peut parcourir
dans une direction. Notre but est de calculer la fonction de distribution de probabilité
P(m) pour chaque valeur de m appartenant à l’intervalle ci-dessus.
Appelons n le nombre de pas vers la droite et n le nombre de pas vers la gauche.
On a :
N = n + n
et m = n − n
= 2n − N
(32)
Comme 2n est un nombre pair, m est pair si N est pair, et impair dans le cas contraire.
Considérons une séquence particulière correspondant à n pas vers la droite et n pas vers
la gauche. Elle correspond à un trajet particulier suivi par le système. Par exemple :
droite, gauche, gauche, droite, etc.. Une telle séquence est l’analogue du micro-état en
physique statistique alors que la donnée de x = ml est l’analogue d’un macroétat. Pour
chaque macroétat possible (−N m +N), nous allons décompter le nombre de
micro-états permettant de l’obtenir. La probabilité d’avoir une séquence particulière correspondant à n pas à droite et n pas à gauche est égale à p n q n . Plusieurs séquences
peuvent conduire au même résultat. Par exemple, pour N = 3, n = 2 et n = 1, on
peut avoir 3 séquences différentes : (droite, droite, gauche), (droite, gauche, droite) et
(gauche, droite, droite). Ce problème est analogue à celui qui consiste à tirer n boules
parmi N boules identiques. Le résultat (cf. exercice 8, chapitre 2) correspond au nombre
de combinaisons de N objets pris n à n :
C
n
N =
N!
n! (N − n)!
=
N!
n! n !
(33)
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Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.