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Physique statistique
où la somme porte sur l’ensemble M de tous les micro-états accessibles au système. Les
probabilités P i doivent satisfaire à la condition de normalisation suivante :
i∈M
P i = 1
(21)
Pour trouver le maximum de la fonction S par rapport aux variables P i , avec la contrainte
imposée par l’équation (20), nous allons utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange dont le principe est décrit en détail dans l’annexe A2. Pour cela, il faut chercher
l’extremum de l’expression :
F(P i ) = S − l 1
i∈M
P i − 1
= −
i∈M
(kP i Log P i + l 1 P i ) + l 1
(22)
où l 1 est un paramètre, appelé multiplicateur de Lagrange, qui sera déterminé par la
condition (21). Posons par commodité l =
l 1
k
. Les conditions d’extremum (qui dans
notre cas sera un maximum) de F(P i ) sont données par :
∂F(P i )
∂P i
= 0 ∀i
(23)
soit :
− ( Log P i + 1 + l) = 0
(24)
ou :
P i = exp(−1 − l)
(25)
La condition de normalisation (21) permet de déterminer la constante l :
i∈M
P i =
i∈M
exp(−1 − l) = exp(−1 − l)
i∈M
1 = 1
(26)
mais :
i∈M
1 = V(E)
(27)
où V(E) est le nombre de micro-états accessibles au système. Donc :
P i =
1
V(E)
(28)
Nous retrouvons le premier postulat : tous les micro-états accessibles au système sont
équiprobables. À l’équilibre, aucun micro-état n’est favorisé : l’information sur le système est minimum et son désordre est maximum.
Remarque. L’ordre maximum correspondrait à la situation où le système serait dans
un micro-état particulier, j par exemple. Dans ce cas, P i = d ij où d ij est le symbole de
Kronecker (d ij = 0 si i = j et d ij = 1 si i = j). L’entropie, i.e. l’information manquante,
serait nulle et l’information sur le système serait maximum car nous saurions exactement
dans quel micro-état il se trouve.
Pour résumer, la loi du maximum de l’entropie, à E fixée, est équivalente à avoir le
minimum d’information sur le système.