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Physique statistique
Il nous reste à analyser, sur un problème pratique, les conditions d’application de ces
modèles microscopiques. Nous allons voir que, pour la plupart des systèmes macroscopiques, il n’est pas nécessaire d’avoir recours à la mécanique quantique et qu’un traitement classique peut constituer une approximation suffisante. Plaçons-nous dans le cadre
d’un problème typique de physique statistique, celui des gaz parfaits, et considérons
de l’hélium. C’est un bon exemple de gaz parfait car chaque atome n’interagit que très
faiblement avec ses voisins. Son énergie interne est donc purement d’origine cinétique.
On place une mole (soit ≈ 4 g et ≈ 6, 02 10 23 atomes~ !) de ce gaz à la température
T = 273 K et à la pression atmosphérique (P ≈ 10 5 pascals) dans un récipient cubique
de côté L. L’équation d’état des gaz parfaits (équation (1) du chapitre 1) nous conduit à
L = 0, 28 m. D’un point de vue microscopique, le récipient cubique contient un ensemble
de particules libres indépendantes de très petite taille auxquelles la mécanique quantique
attribue des énergies réparties suivant des valeurs discrètes (équation 6) qui sont égales
à des multiples entiers de fois ´ 0 définie par (7) : ´ 0 =
p 2 2
2mL 2 ≈ 10
−40 J ≈ 6, 3 10 −22
eV, où m est la masse d’un atome d’hélium ; soit : m = 4 10 −3 /6 10 23 = 6, 7 10 −27 kg.
Pour déterminer l’ordre de grandeur des nombres quantiques (n x , n y , n z ) des niveaux que
vont peupler les atomes du gaz, nous allons utiliser les propriétés macroscopiques de
celui-ci : le premier principe de la thermodynamique et l’expérience de Joule nous ont
montré (exercice 9, chapitre 1) que l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de
sa température. En fait, nous verrons par la suite que l’énergie cinétique moyenne d’un
atome d’hélium à la température T est égale à <´>= 3kT/2, où k =
R
N
est la constante
de Boltzmann, ce qui correspond à : < ´ >= 3kT/2 = 5, 65 10 −21 J = 3, 5 10 −2 eV.
L’énergie cinétique moyenne, <´>, est donc considérablement supérieure à ´ 0 . Si l’on
suppose que n x = n y = n z , on trouve : 3n 2
x ´ 0 =<´>=⇒ n x ≈ 4 10 9 . Les nombres n x ,
n y et n z sont donc extrêmement grands. On peut montrer dans ce cas que la mécanique
classique constitue une excellente approximation de la mécanique quantique. Par conséquent, l’évolution d’un atome d’hélium dans les conditions normales peut être décrite à
l’aide de concepts classiques.
Remarque. La valeur de ´ 0 est extrêmement faible comparée aux énergies mises en jeu
dans les processus macroscopiques. Cette quantité d’énergie représente l’ordre de grandeur de la différence d’énergie entre deux niveaux. Or, même pour un système macroscopique isolé, il n’est pas possible de définir l’énergie totale, E, avec une telle précision.
Il existe en effet sur E une incertitude DE bien supérieure à ´ 0 . Cette incertitude, dont
l’existence conduit à une certaine indétermination quant au micro-état occupé par le système, provient de l’existence d’interactions résiduelles avec le milieu extérieur. Cellesci peuvent induire des transitions entre différents micro-états appartenant au domaine
[E − DE , E + DE]. L’incertitude DE a par ailleurs une limite inférieure finie d’origine
purement quantique : en effet, l’observation du système ne peut pas avoir lieu pendant un
intervalle de temps Dt infini. D’après le principe de Heisenberg, l’incertitude sur le temps
et l’énergie doivent satisfaire à l’inégalité : DE Dt . Pour Dt = 1 mn, par exemple, on
a : DE
Dt
=
1, 054 10
−34
60
= 1, 76 10
−36 J, ce qui est encore bien supérieur à ´ 0 .
Physique statistique
Il nous reste à analyser, sur un problème pratique, les conditions d’application de ces
modèles microscopiques. Nous allons voir que, pour la plupart des systèmes macroscopiques, il n’est pas nécessaire d’avoir recours à la mécanique quantique et qu’un traitement classique peut constituer une approximation suffisante. Plaçons-nous dans le cadre
d’un problème typique de physique statistique, celui des gaz parfaits, et considérons
de l’hélium. C’est un bon exemple de gaz parfait car chaque atome n’interagit que très
faiblement avec ses voisins. Son énergie interne est donc purement d’origine cinétique.
On place une mole (soit ≈ 4 g et ≈ 6, 02 10 23 atomes~ !) de ce gaz à la température
T = 273 K et à la pression atmosphérique (P ≈ 10 5 pascals) dans un récipient cubique
de côté L. L’équation d’état des gaz parfaits (équation (1) du chapitre 1) nous conduit à
L = 0, 28 m. D’un point de vue microscopique, le récipient cubique contient un ensemble
de particules libres indépendantes de très petite taille auxquelles la mécanique quantique
attribue des énergies réparties suivant des valeurs discrètes (équation 6) qui sont égales
à des multiples entiers de fois ´ 0 définie par (7) : ´ 0 =
p 2 2
2mL 2 ≈ 10
−40 J ≈ 6, 3 10 −22
eV, où m est la masse d’un atome d’hélium ; soit : m = 4 10 −3 /6 10 23 = 6, 7 10 −27 kg.
Pour déterminer l’ordre de grandeur des nombres quantiques (n x , n y , n z ) des niveaux que
vont peupler les atomes du gaz, nous allons utiliser les propriétés macroscopiques de
celui-ci : le premier principe de la thermodynamique et l’expérience de Joule nous ont
montré (exercice 9, chapitre 1) que l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de
sa température. En fait, nous verrons par la suite que l’énergie cinétique moyenne d’un
atome d’hélium à la température T est égale à <´>= 3kT/2, où k =
R
N
est la constante
de Boltzmann, ce qui correspond à : < ´ >= 3kT/2 = 5, 65 10 −21 J = 3, 5 10 −2 eV.
L’énergie cinétique moyenne, <´>, est donc considérablement supérieure à ´ 0 . Si l’on
suppose que n x = n y = n z , on trouve : 3n 2
x ´ 0 =<´>=⇒ n x ≈ 4 10 9 . Les nombres n x ,
n y et n z sont donc extrêmement grands. On peut montrer dans ce cas que la mécanique
classique constitue une excellente approximation de la mécanique quantique. Par conséquent, l’évolution d’un atome d’hélium dans les conditions normales peut être décrite à
l’aide de concepts classiques.
Remarque. La valeur de ´ 0 est extrêmement faible comparée aux énergies mises en jeu
dans les processus macroscopiques. Cette quantité d’énergie représente l’ordre de grandeur de la différence d’énergie entre deux niveaux. Or, même pour un système macroscopique isolé, il n’est pas possible de définir l’énergie totale, E, avec une telle précision.
Il existe en effet sur E une incertitude DE bien supérieure à ´ 0 . Cette incertitude, dont
l’existence conduit à une certaine indétermination quant au micro-état occupé par le système, provient de l’existence d’interactions résiduelles avec le milieu extérieur. Cellesci peuvent induire des transitions entre différents micro-états appartenant au domaine
[E − DE , E + DE]. L’incertitude DE a par ailleurs une limite inférieure finie d’origine
purement quantique : en effet, l’observation du système ne peut pas avoir lieu pendant un
intervalle de temps Dt infini. D’après le principe de Heisenberg, l’incertitude sur le temps
et l’énergie doivent satisfaire à l’inégalité : DE Dt . Pour Dt = 1 mn, par exemple, on
a : DE
Dt
=
1, 054 10
−34
60
= 1, 76 10
−36 J, ce qui est encore bien supérieur à ´ 0 .