2 • Le monde microscopique
27
2.1.2 L’oscillateur harmonique à une dimension
L’évolution d’un poids suspendu à un ressort autour de sa position d’équilibre, après
qu’il en ait été légèrement écarté, représente un exemple d’oscillateur harmonique classique. Supposons que le poids ait une masse m et qu’il soit susceptible de se déplacer
dans une seule direction que nous noterons x. Nous supposerons que la position d’équilibre correspond à x = 0. Ce système a le comportement d’un oscillateur harmonique si
son énergie potentielle, U , est de la forme :
U =
1
2
K x
2
(2)
où K est une constante. Si tel est le cas, le corps de masse m est soumis à une force de
rappel égale à −
∂U
∂x
= −Kx, et l’équation du mouvement s’écrit :
m
d 2 x
dt 2 = −K x
(3)
où t désigne le temps. La solution de cette équation est une sinusoïde dont la pulsation
v est donnée par : v =
K
m
. Le système oscille autour de sa position d’équilibre avec la
pulsation v, i.e. avec une fréquence n =
v
2p
. Classiquement, toutes les valeurs positives
de l’énergie sont permises.
Au niveau microscopique, il existe également des systèmes dont l’énergie potentielle
est une forme quadratique des coordonnées. Un exemple très simple est donné par la molécule d’hydrogène dont les deux atomes peuvent osciller le long de l’axe de symétrie
de la molécule. La description correcte de tels systèmes requiert l’utilisation de la mécanique quantique. Comme pour l’atome d’hydrogène, cette théorie dit que les niveaux
d’énergie, donc les pulsations, sont quantifiés. Dans le cas d’un oscillateur harmonique
à une dimension, les niveaux d’énergie sont donnés par l’expression :
´ n =
n +
1
2
v
(4)
où n est un entier positif ou nul : c’est le nombre quantique associé à un oscillateur à
une dimension. Les niveaux d’énergie sont représentés sur la figure 1. Ils ne sont pas
dégénérés. L’état fondamental correspond à n = 0 et son énergie est égale à ´ 0 =
1
2 v.
L’oscillateur « oscille » même dans son état fondamental puisque son énergie totale
(cinétique plus potentielle) n’est pas nulle. Ceci est différent de la mécanique classique
où l’état d’énergie le plus bas correspond à une configuration où le ressort est au repos.
Le fait que l’énergie totale d’un oscillateur harmonique ne puisse pas être nulle dans
son état fondamental peut être compris à l’aide du principe d’incertitude de Heisenberg
qui dit qu’il n’est pas possible de mesurer simultanément la position x et l’impulsion p x
d’une particule. En effet, on doit toujours avoir l’inégalité :
Dx Dp x ≈
(5)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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2.1.2 L’oscillateur harmonique à une dimension
L’évolution d’un poids suspendu à un ressort autour de sa position d’équilibre, après
qu’il en ait été légèrement écarté, représente un exemple d’oscillateur harmonique classique. Supposons que le poids ait une masse m et qu’il soit susceptible de se déplacer
dans une seule direction que nous noterons x. Nous supposerons que la position d’équilibre correspond à x = 0. Ce système a le comportement d’un oscillateur harmonique si
son énergie potentielle, U , est de la forme :
U =
1
2
K x
2
(2)
où K est une constante. Si tel est le cas, le corps de masse m est soumis à une force de
rappel égale à −
∂U
∂x
= −Kx, et l’équation du mouvement s’écrit :
m
d 2 x
dt 2 = −K x
(3)
où t désigne le temps. La solution de cette équation est une sinusoïde dont la pulsation
v est donnée par : v =
K
m
. Le système oscille autour de sa position d’équilibre avec la
pulsation v, i.e. avec une fréquence n =
v
2p
. Classiquement, toutes les valeurs positives
de l’énergie sont permises.
Au niveau microscopique, il existe également des systèmes dont l’énergie potentielle
est une forme quadratique des coordonnées. Un exemple très simple est donné par la molécule d’hydrogène dont les deux atomes peuvent osciller le long de l’axe de symétrie
de la molécule. La description correcte de tels systèmes requiert l’utilisation de la mécanique quantique. Comme pour l’atome d’hydrogène, cette théorie dit que les niveaux
d’énergie, donc les pulsations, sont quantifiés. Dans le cas d’un oscillateur harmonique
à une dimension, les niveaux d’énergie sont donnés par l’expression :
´ n =
n +
1
2
v
(4)
où n est un entier positif ou nul : c’est le nombre quantique associé à un oscillateur à
une dimension. Les niveaux d’énergie sont représentés sur la figure 1. Ils ne sont pas
dégénérés. L’état fondamental correspond à n = 0 et son énergie est égale à ´ 0 =
1
2 v.
L’oscillateur « oscille » même dans son état fondamental puisque son énergie totale
(cinétique plus potentielle) n’est pas nulle. Ceci est différent de la mécanique classique
où l’état d’énergie le plus bas correspond à une configuration où le ressort est au repos.
Le fait que l’énergie totale d’un oscillateur harmonique ne puisse pas être nulle dans
son état fondamental peut être compris à l’aide du principe d’incertitude de Heisenberg
qui dit qu’il n’est pas possible de mesurer simultanément la position x et l’impulsion p x
d’une particule. En effet, on doit toujours avoir l’inégalité :
Dx Dp x ≈
(5)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.