162
Physique statistique
La valeur moyenne (calculée sur l’ensemble grand canonique) d’une quantité X, qui
prend la valeur X N,r,{j} lorsque le système est dans le micro-état N, r, {j}, vaut :
=
1
J
N
r
{j}
X N,r,{j} e bmN − bE N,r
(16)
Nous développerons plus loin des méthodes permettant de calculer directement les quantités thermodynamiques à partir de la fonction de partition grand canonique J.
8.2 RELATION AVEC LE PRINCIPE D’INFORMATION MINIMUM
Tout comme pour les ensembles microcanonique et canonique que nous avons étudiés
précédemment, on peut utiliser le principe d’information minimum pour obtenir l’ensemble grand canonique. Nous allons montrer qu’il correspond au problème où l’on
cherche la distribution de probabilité des micro-états qui rend l’entropie d’information
maximum (donc qui minimise l’information) lorsque l’énergie et le nombre de particules
moyens sont fixés.
Afin d’alléger les notations, nous allons procéder comme pour l’ensemble canonique
et renuméroter les micro-états avec un indice unique i en lieu et place des indices
N, r, {j}. Comme nous l’avons discuté en détails dans la section 6.2, cela signifie que
certaines valeurs de i peuvent correspondre au même niveau d’énergie. L’indice varie de
zéro à l’infini et il est entendu qu’il pourra décrire toutes les possibilités correspondant
aux micro-états ordonnés selon N, r, {j}. Notre problème se réduit à trouver le maximum
de l’entropie d’information :
S = −k
i
P i Log P i
(17)
où P i est la probabilité d’obtenir le micro-état i, compte tenu des contraintes suivantes :
i
P i = 1 ,
i
P i E i = E et
i
P i N i = N
(18)
où E i est l’énergie du micro-état i qui correspond à N i particules. Pour simplifier nous
avons noté la valeur moyenne de l’énergie= E et le nombre moyen de particules
= N. Les équations (18) traduisent respectivement le fait que les probabilités sont
normalisées, que l’énergie moyenne est égale à E, et que le nombre de particules moyen
est fixé à N.
Si nous appliquons la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour rechercher le
maximum de S, compte tenu des contraintes (18), nous devons chercher l’extremum
Physique statistique
La valeur moyenne (calculée sur l’ensemble grand canonique) d’une quantité X, qui
prend la valeur X N,r,{j} lorsque le système est dans le micro-état N, r, {j}, vaut :
1
J
N
r
{j}
X N,r,{j} e bmN − bE N,r
(16)
Nous développerons plus loin des méthodes permettant de calculer directement les quantités thermodynamiques à partir de la fonction de partition grand canonique J.
8.2 RELATION AVEC LE PRINCIPE D’INFORMATION MINIMUM
Tout comme pour les ensembles microcanonique et canonique que nous avons étudiés
précédemment, on peut utiliser le principe d’information minimum pour obtenir l’ensemble grand canonique. Nous allons montrer qu’il correspond au problème où l’on
cherche la distribution de probabilité des micro-états qui rend l’entropie d’information
maximum (donc qui minimise l’information) lorsque l’énergie et le nombre de particules
moyens sont fixés.
Afin d’alléger les notations, nous allons procéder comme pour l’ensemble canonique
et renuméroter les micro-états avec un indice unique i en lieu et place des indices
N, r, {j}. Comme nous l’avons discuté en détails dans la section 6.2, cela signifie que
certaines valeurs de i peuvent correspondre au même niveau d’énergie. L’indice varie de
zéro à l’infini et il est entendu qu’il pourra décrire toutes les possibilités correspondant
aux micro-états ordonnés selon N, r, {j}. Notre problème se réduit à trouver le maximum
de l’entropie d’information :
S = −k
i
P i Log P i
(17)
où P i est la probabilité d’obtenir le micro-état i, compte tenu des contraintes suivantes :
i
P i = 1 ,
i
P i E i = E et
i
P i N i = N
(18)
où E i est l’énergie du micro-état i qui correspond à N i particules. Pour simplifier nous
avons noté la valeur moyenne de l’énergie
normalisées, que l’énergie moyenne est égale à E, et que le nombre de particules moyen
est fixé à N.
Si nous appliquons la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour rechercher le
maximum de S, compte tenu des contraintes (18), nous devons chercher l’extremum