142
Physique statistique
en se souvenant que =
h
2p
. Ce résultat est identique à l’expression (6.145) que nous
avons obtenue dans la section précédente. Les deux méthodes conduisent aux mêmes
résultats tant pour Z que pour les quantités thermodynamiques.
7.3 VALIDITÉ DE L’APPROXIMATION CLASSIQUE
Ce point sera examiné en détails au chapitre 9 lors de l’étude des gaz parfaits quantiques
mais nous allons néanmoins préciser dès maintenant quelques conditions qui permettent
de considérer qu’un gaz parfait suit les lois de la mécanique statistique classique. En
mécanique quantique, nous savons qu’à chaque particule de masse m, d’énergie ´ et
d’impulsion p, est associée une onde dont la longueur d’onde l (dite longueur d’onde
de de Broglie) est donnée par l’expression suivante :
l =
h
p
=
h
√
2m´
(21)
Pour que l’évolution dynamique des particules puisse être décrite par la mécanique classique, il faut que le caractère ondulatoire du corpuscule, qui se traduit en particulier par
l’existence d’interférences, puisse être négligé. Les phénomènes d’interférences sont négligeables si la distance d séparant deux particules est bien supérieure à l (d l). Si
d est de l’ordre de l, les phénomènes d’interférences sont importants et on ne peut plus
utiliser une description classique pour décrire le système. S’il y a N particules dans le
volume V, la distance moyenne entre deux d’entre elles peut être estimée en supposant
que le volume est divisé en petits cubes de coté d dont le centre est occupé par une
particule. Alors :
Nd
3 = V soit d =
V
N
1/3
(22)
L’énergie moyenne d’une particule est donnée par :
<´>=
N
=
3
2
kT
(23)
La condition d l s’écrit donc :
V
N
1/3
>>
h
√
3mkT
soit
N
V
h 2
3mkT
3/2
1
(24)
Par conséquent, un gaz parfait a un comportement classique si la concentration des particules,
N
V
, est faible, si la masse m de celles-ci est grande ou si la température T est
élevée.
Exemples.
• Considérons de l’hélium à 273 K dont la concentration
N
V
est égale à 10
26 atomes par m
3
(la pression P = 3, 76 10
5 Pascals). On a d = 2, 15 10
−9 m. La masse molaire de l’hélium est
∼ 4 10
−3 kg. Donc m = 6, 64 10
−27 kg. L’énergie cinétique moyenne vaut <´>= 5, 65 10
−21 J,
Physique statistique
en se souvenant que =
h
2p
. Ce résultat est identique à l’expression (6.145) que nous
avons obtenue dans la section précédente. Les deux méthodes conduisent aux mêmes
résultats tant pour Z que pour les quantités thermodynamiques.
7.3 VALIDITÉ DE L’APPROXIMATION CLASSIQUE
Ce point sera examiné en détails au chapitre 9 lors de l’étude des gaz parfaits quantiques
mais nous allons néanmoins préciser dès maintenant quelques conditions qui permettent
de considérer qu’un gaz parfait suit les lois de la mécanique statistique classique. En
mécanique quantique, nous savons qu’à chaque particule de masse m, d’énergie ´ et
d’impulsion p, est associée une onde dont la longueur d’onde l (dite longueur d’onde
de de Broglie) est donnée par l’expression suivante :
l =
h
p
=
h
√
2m´
(21)
Pour que l’évolution dynamique des particules puisse être décrite par la mécanique classique, il faut que le caractère ondulatoire du corpuscule, qui se traduit en particulier par
l’existence d’interférences, puisse être négligé. Les phénomènes d’interférences sont négligeables si la distance d séparant deux particules est bien supérieure à l (d l). Si
d est de l’ordre de l, les phénomènes d’interférences sont importants et on ne peut plus
utiliser une description classique pour décrire le système. S’il y a N particules dans le
volume V, la distance moyenne entre deux d’entre elles peut être estimée en supposant
que le volume est divisé en petits cubes de coté d dont le centre est occupé par une
particule. Alors :
Nd
3 = V soit d =
V
N
1/3
(22)
L’énergie moyenne d’une particule est donnée par :
<´>=
N
=
3
2
kT
(23)
La condition d l s’écrit donc :
V
N
1/3
>>
h
√
3mkT
soit
N
V
h 2
3mkT
3/2
1
(24)
Par conséquent, un gaz parfait a un comportement classique si la concentration des particules,
N
V
, est faible, si la masse m de celles-ci est grande ou si la température T est
élevée.
Exemples.
• Considérons de l’hélium à 273 K dont la concentration
N
V
est égale à 10
26 atomes par m
3
(la pression P = 3, 76 10
5 Pascals). On a d = 2, 15 10
−9 m. La masse molaire de l’hélium est
∼ 4 10
−3 kg. Donc m = 6, 64 10
−27 kg. L’énergie cinétique moyenne vaut <´>= 5, 65 10
−21 J,